模式识别、推荐系统中常用的两种矩阵分解(2)

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定理五：若矩阵的秩为r，则和秩均为r。

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补充完以上五个定理，我们正式开始矩阵的奇异值分解的证明。

设矩阵,矩阵的秩为,且，则矩阵可以分解为如下形式：

，

也可表示为：

证明：无非就是寻找。

显然，，且这两个矩阵均是半正定矩阵，且互为转置，且根据定理五，这两个矩阵的秩均为。根据定理二和定理三，这两个矩阵的特征值是相同的，且均大于等于零。我们只用大于零的特征值。设

(我们按从大到小排序即：)是它们的不为零的特征值，且对于矩阵对应的单位特征向量为（

），对于矩阵对应的单位特征向量为（），即

，。

其实和存在一定的关系，下面就找出这种关系。

因为

，

所以，是的特征向量，又因为也是的特征向量，所以，

，

又因为

，

所以：

。

则：

,

所以，

，

那么