可见在指定[-π, π]的区间里，该式的定积分为0。其他式也可逐一验证。
3、函数展开成傅里叶级数：
先把傅里叶级数表示为下式，即⑥式：
对⑥式从[-π, π]积分，得：
这就求得了第一个系数a0的表达式，即最上边傅里叶级数公式里的②式。接下来再求an和bn的表达式。用cos(kωt)乘⑥式的二边得：
至此，已经求得傅里叶级数中各系数的表达式，只要这些积分都存在，那么⑥式等号右侧所表示的傅里叶级数就能用来表达原函数f(t)。上述过程就是整个傅里叶级数的推导过程。事实上，如果能够写出⑥式，不难求出各个系数的表达式，关键是人们不会想到一个周期函数竟然可以用一些简单的正弦或余弦函数来表达，且这个表达式是一个无穷级数。这当然就是数学家傅里叶的天才之作了，我等只有拼命理解的份了。
综上，傅里叶级数的产生过程可以分为以下三步：
1、设想可以把一个周期函数f(t)通过最简单的一系列正弦函数来表示，即5式;
2、通过变形后用三角级数(含sin和cos)来表示;
3、通过积分，把各未知系数用f(t)的积分式来表达;
4、最后得到的4个表达式就是傅里叶级数公式。
在电子学中，傅里叶级数是一种频域分析工具，可以理解成一种复杂的周期波分解成直流项、基波(角频率为ω)和各次谐波(角频率为nω)的和，也就是级数中的各项。一般，随着n的增大，各次谐波的能量逐渐衰减，所以一般从级数中取前n项之和就可以很好接近原周期波形。这是傅里叶级数在电子学分析中的重要应用。