HyperLogLog算法经常在数据库中被用来统计某一字段的Distinct Value（下文简称DV），比如Redis的HyperLogLog结构，出于好奇探索了一下这个算法的原理，无奈中文资料很少，只能直接去阅读论文以及一些英文资料，总结成此文。
介绍HyperLogLog算法来源于论文《HyperLogLog the analysis of a near-optimal cardinality estimation algorithm》(下载地址见文末的参考文献)，可以使用固定大小的字节计算任意大小的DV，本文先介绍该算法的原理，然后通过剖析stream-lib（一个Java实现的实时计算库）对此算法的实现来进一步理解该算法。本文追求直观理解，所以不会太过于纠结一些数学细节，如果关心数学细节的话可以直接去看论文，论文里会有具体的证明。
基数基数就是指一个集合中不同值的数目，比如[a,b,c,d]的基数就是4，[a,b,c,d,a]的基数还是4，因为a重复了一个，不算。基数也可以称之为Distinct Value，简称DV。下文中可能有时候称呼为基数，有时候称之为DV，但都是同一个意思。HyperLogLog算法就是用来计算基数的。
生活中的启发-以抛硬币为例
抛硬币
HyperLogLog本质上来源于生活中一个小的发现，假设你抛了很多次硬币，你告诉在这次抛硬币的过程中最多只有两次扔出连续的反面，让我猜你总共抛了多少次硬币，我敢打赌你抛硬币的总次数不会太多，相反，如果你和我说最多出现了100次连续的反面，那么我敢肯定扔硬盘的总次数非常的多，甚至我还可以给出一个估计，这个估计要怎么给呢？其实是一个很简单的概率问题，假设1代表抛出正面，0代表反面：
以序列1110100110为例
上图中以抛硬币序列"1110100110"为例，其中最长的反面序列是"00"，我们顺手把后面那个1也给带上，也就是"001"，因为它包括了序列中最长的一串0，所以在序列中肯定只出现过一次，而它在任意序列出现出现且仅出现一次的概率显然是上图所示的三个二分之一相乘，也就是八分之一，所以我可以给出一个估计值，你大概总共抛了8次硬币。
很显然，上面这种做法虽然能够估计抛硬币的总数，但是显然误差是比较大的，很容易受到突发事件（比如突然连续抛出好多0）的影响，HyperLogLog算法研究的就是如何减小这个误差。
之前说过，HyperLogLog算法是用来计算基数的，这个抛硬币的序列和基数有什么关系呢？比如在数据库中，我只要在每次插入一条新的记录时，计算这条记录的hash，并且转换成二进制，就可以将其看成一个硬币序列了，如下(0b前缀表示二进制数)：
计算hash
最简单的想法根据上面抛硬币的启发我可以想到如下的估计基数的算法（这里先给出伪代码，后面会有Java实现）：
输入：一个集合 输出：集合的基数 算法： max = 0 对于集合中的每个元素： hashCode = hash(元素) num = hashCode二进制表示中最前面连续的0的数量 if num > max: max = num 最后的结果是2的(max + 1)次幂举个例子，对于集合{ele1, ele2}，先求hash(ele1)=0b00110111，它最前面的连续的0的数量为2（又称为前导0），然后求hash(ele2)=0b10010000111，它的前导0数量为0，我们始终只保存前导零数量的最大值，所以最后max是2，我们估计的基数就是2的(2+1)次幂，即8。
为什么最后的max要加1呢？这是一个数学细节，具体要看论文，简单的理解的话，可以像之前抛硬币的例子那样理解，把最长的一串零的后面的一个1或者前面的一个1"顺手"带上进行概率估计。
显然这个算法是非常不准确的，但是这个想法还是很有启发性的，从这个简单的想法跟随下文一步一步优化即可得到最终的比较高精度的HyperLogLog算法。
最简单的一种优化方法显然就是把数据分成m个均等的部分，分别估计其总数求平均后再乘以m，称之为分桶。对应到前面抛硬币的例子，其实就是把硬币序列分成m个均等的部分，分别用之前提到的那个方法估计总数求平均后再乘以m，这样就能一定程度上避免单一突发事件造成的误差。
具体要怎么分桶呢？我们可以将每个元素的hash值的二进制表示的前几位用来指示数据属于哪个桶，然后把剩下的部分再按照之前最简单的想法处理。
还是以刚刚的那个集合{ele1,ele2}为例，假设我要分2个桶，那么我只要去ele1的hash值的第一位来确定其分桶即可，之后用剩下的部分进行前导零的计算，如下图：
假设ele1和ele2的hash值二进制表示如下：
分桶算法