程序及分析 /* * FileName : fft2.cpp * Author : xiahouzuoxin @163.com * Version : v1.0 * Date : Wed 30 Jul 2014 09:42:12 PM CST * Brief : * * Copyright (C) MICL,USTB */ #include <iostream> #include <cv.h> #include <highgui.h> #include "imgproc/imgproc.hpp" using namespace std; using namespace cv; int main(int argc, char *argv[]) { if (argc < 2) { cout<<"Usage:./fft2 [image name]"<<endl; return -1; } // Read as grayscale image Mat image = imread(argv[1], CV_LOAD_IMAGE_GRAYSCALE); if (!image.data) { cout << "Read image error"<<endl; return -1; } Mat padded; int m = getOptimalDFTSize(image.rows); // Return size of 2^x that suite for FFT int n = getOptimalDFTSize(image.cols); // Padding 0, result is @padded copyMakeBorder(image, padded, 0, m-image.rows, 0, n-image.cols, BORDER_CONSTANT, Scalar::all(0)); // Create planes to storage REAL part and IMAGE part, IMAGE part init are 0 Mat planes[] = {Mat_<float>(padded), Mat::zeros(padded.size(), CV_32F) }; Mat complexI; merge(planes, 2, complexI); dft(complexI, complexI); // compute the magnitude and switch to logarithmic scale split(complexI, planes); magnitude(planes[0], planes[0], planes[1]); Mat magI = planes[0]; // => log(1+sqrt(Re(DFT(I))^2+Im(DFT(I))^2)) magI += Scalar::all(1); log(magI, magI); // crop the spectrum magI = magI(Rect(0, 0, magI.cols & (-2), magI.rows & (-2))); Mat _magI = magI.clone(); normalize(_magI, _magI, 0, 1, CV_MINMAX); // rearrange the quadrants of Fourier image so that the origin is at the image center int cx = magI.cols/2; int cy = magI.rows/2; Mat q0(magI, Rect(0,0,cx,cy)); // Top-Left Mat q1(magI, Rect(cx,0,cx,cy)); // Top-Right Mat q2(magI, Rect(0,cy,cx,cy)); // Bottom-Left Mat q3(magI, Rect(cx,cy,cx,cy)); // Bottom-Right // exchange Top-Left and Bottom-Right Mat tmp; q0.copyTo(tmp); q3.copyTo(q0); tmp.copyTo(q3); // exchange Top-Right and Bottom-Left q1.copyTo(tmp); q2.copyTo(q1); tmp.copyTo(q2); normalize(magI, magI, 0, 1, CV_MINMAX); imshow("Input image", image); imshow("Spectrum magnitude before shift frequency", _magI); imshow("Spectrum magnitude after shift frequency", magI); waitKey(); return 0; }
本程序的作用是：将图像从空间域转换到频率域，并绘制频域图像。
二维图像的DFT（离散傅里叶变换），
图像的频域表示的是什么含义呢？又有什么用途呢？图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。图像的边缘部分是突变部分，变化较快，因此反应在频域上是高频分量；图像的噪声大部分情况下是高频部分；图像大部分平缓的灰度变化部分则为低频分量。也就是说，傅立叶变换提供另外一个角度来观察图像，可以将图像从灰度分布转化到频率分布上来观察图像的特征。
频域在图像处理中，就我所知的用途主要在两方面：图像压缩和图像去噪。关于这两点将在下面给出图片DFT的变换结果后说明。
有关DFT的更多性质请参考胡广书教授的《数字信号处理》教材。
请注意读图片的函数与之前有所不同：
Mat image = imread(argv[1], CV_LOAD_IMAGE_GRAYSCALE);CV_LOAD_IMAGE_GRAYSCALE参数表示将原图像转换为灰度图后读入，这是因为后面的DFT变换都是基于二维信号的，而彩色图像是三维信号。当然，也可以对RGB每一通道都进行DFT运算。
DFT算法的原理要求输入信号的长度最好为2^n，这样可以使用快速傅里叶变换算法（FFT算法）进行加速。所以程序中使用
copyMakeBorder(image, padded, 0, m-image.rows, 0, n-image.cols, BORDER_CONSTANT, Scalar::all(0));填充0使横纵长度都为2^n。
对于一维信号，原DFT直接运算的复杂度是O(N^2)，而快速傅里叶变换的复杂度降低到O(Nlog2(N))，假设N为512，足足提高了512/9≈57倍。