概念
在数学中，两个集合X和Y的笛卡儿积（Cartesian product），又称直积，表示为 X × Y。设A、B是任意两个集合，在集合A中任意取一个元素x，在集合B中任意取一个元素y，组成一个有序对（x，y），把这样的有序对作为新的元素，他们的全体组成的集合称为集合A和集合B的直积，记为A×B，即 A×B={（x，y）|x∈A且y∈B}。
假设集合 A={a, b}，集合 B={0, 1, 2}，则两个集合的笛卡尔积为 {(a, 0), (a, 1), (a, 2), (b, 0), (b, 1), (b, 2)}。
举例
给出三个域：
D1 = { 张清玫，刘逸 }
D2 = {计算机专业，信息专业}
D3 = {李勇，刘晨，王敏}
则 D1，D2，D3 的笛卡尔积 D = D1×D2×D3，等于：
{
(张清玫, 计算机专业, 李勇),
(张清玫, 计算机专业, 刘晨),
(张清玫, 计算机专业, 王敏),
(张清玫, 信息专业, 李勇),
(张清玫, 信息专业, 刘晨),
(张清玫, 信息专业, 王敏),
(刘逸, 计算机专业, 李勇),
(刘逸, 计算机专业, 刘晨),
(刘逸, 计算机专业, 王敏),
(刘逸, 信息专业, 李勇),
(刘逸, 信息专业, 刘晨),
(刘逸, 信息专业, 王敏)
}
这样就把D1、D2、D3这三个集合中的每个元素加以对应组合，形成庞大的集合群。本个例子中的D中就会有 2X2X3=12 个元素，如果一个集合有1000个元素，有这样3个集合，他们的笛卡尔积所组成的新集合会达到十亿个元素。假若某个集合是无限集，那么新的集合就将是有无限个元素。
PHP代码 - 输出数组形式
function Descartes()
{
$t = func_get_args(); // 获取传入的参数
if (func_num_args() == 1) { // 判断参数个数是否为1
return call_user_func_array(__FUNCTION__, $t[0]); // 回调当前函数，并把第一个数组作为参数传入
}
$a = array_shift($t); // 将 $t 中的第一个元素移动到 $a 中，$t 中索引值重新排序
if ( !is_array($a)) {
$a = [$a];
}
$a = array_chunk($a, 1); // 分割数组 $a ，为每个单元1个元素的新数组
do {
$r = [];
$b = array_shift($t);
if ( !is_array($b)) {
$b = [$b];
}
foreach ($a as $p) {
foreach (array_chunk($b, 1) as $q) {
$r[] = array_merge($p, $q);
}
}
$a = $r;
} while ($t);
return $r;
}
使用：
$arr = [
[
'张清玫',
'刘逸'
],
[
'计算机专业',
'信息管理与信息系统专业',
'电子商务专业'
],
[
'2018级',
'2017级'
]
];
$r = Descartes($arr);
效果：
array(12) {
[0]=>
array(3) {
[0]=>
string(9) "张清玫"
[1]=>
string(15) "计算机专业"
[2]=>
string(7) "2018级"
}
[1]=>
array(3) {
[0]=>
string(9) "张清玫"
[1]=>
string(15) "计算机专业"
[2]=>
string(7) "2017级"
}
[2]=>
array(3) {
[0]=>
string(9) "张清玫"
[1]=>
string(33) "信息管理与信息系统专业"
[2]=>
string(7) "2018级"
}
[3]=>
array(3) {
[0]=>
string(9) "张清玫"
[1]=>
string(33) "信息管理与信息系统专业"
[2]=>
string(7) "2017级"
}
[4]=>
array(3) {
[0]=>
string(9) "张清玫"
[1]=>
string(18) "电子商务专业"
[2]=>
string(7) "2018级"
}
[5]=>
array(3) {
[0]=>
string(9) "张清玫"
[1]=>
string(18) "电子商务专业"
[2]=>
string(7) "2017级"
}
[6]=>
array(3) {
[0]=>
string(6) "刘逸"
[1]=>
string(15) "计算机专业"
[2]=>
string(7) "2018级"
}
[7]=>
array(3) {
[0]=>
string(6) "刘逸"
[1]=>
string(15) "计算机专业"
[2]=>
string(7) "2017级"
}
[8]=>
array(3) {
[0]=>
string(6) "刘逸"
[1]=>
string(33) "信息管理与信息系统专业"
[2]=>
string(7) "2018级"
}
[9]=>
array(3) {
[0]=>
string(6) "刘逸"
[1]=>
string(33) "信息管理与信息系统专业"
[2]=>
string(7) "2017级"
}
[10]=>
array(3) {
[0]=>
string(6) "刘逸"
[1]=>
string(18) "电子商务专业"
[2]=>
string(7) "2018级"
}
[11]=>
array(3) {
[0]=>
string(6) "刘逸"
[1]=>
string(18) "电子商务专业"
[2]=>
string(7) "2017级"
}
}
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