计算机最基本的操作单元是字节，一个字节由8个位组成，一个位只能存储一个0或1。所有数据在计算机中都是采用二进制，即 1 和 0 的编码存储和运算。
这次尝试在 PHP 中使用位运算实现四则运算，首先介绍一些基本概念：
原码：将最高位作为符号位(0表示正，1表示负)，其它数字位代表数值本身的绝对值
反码：正数反码和原码一样；如果是负数，符号位不变，其余各位取反
补码：正数补码和原码一样；负数补码为反码加 1
计算机中的数使用 补码 的形式存储
⒈ 加法
二进制中只有 0 和 1，0 + 0、0 + 1 都不需要进位，但 1 + 1 则需要进位。所以，首先通过 抑或 运算得到不需要进位的那些位相加的结果。然后进行 与 运算，当相加的两位都为 1 时结果为 1。所以如果与运算的结果大于 0 说明需要进位，此时将与运算的结果按位左移 1 位，此时将左移的结果与抑或运算得到的结果重新进行上述的运算过程，直到与运算的结果为 0。
<?php
function add($summand, $addend)
{
$sum = $summand ^ $addend;
// 判断进位
$carry = $summand & $addend;
while ($carry <<= 1) {
$summand = $sum;
$addend = $carry;
$sum = $summand ^ $addend;
$carry = $summand & $addend;
}
return $sum;
}
⒉ 减法
减法可以看作是减数为负数的加法，例如 2 - 1 可以看作是 2 + （-1）。
<?php
require 'addition.php';
function subtract($minuend, $subtrahend)
{
// 先求得减数的补码，然后求和
$subtrahend = add(~$subtrahend, 1);
return add($minuend, $subtrahend);
}
⒊ 乘法
乘法也可以看作是加法的变种，例如 m * n 可以看作是 n 个 m 相加的结果。但乘法使用位运算还有更快捷的实现方式。例如 3 * 10：3 的二进制表示为 0011，10 的二进制表示为 1010
0 0 1 1
× 1 0 1 0
————————————
0 0 0 0
0 0 1 1 0
0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0
————————————
0 0 1 1 1 1 0
由上图可以看出，乘法计算的结果为：当乘数的位的值为 1 时，将被乘数按位左移相应的位数，最后将这些按位左移后得到的结果相加及时最后的结果。
<?php require 'addition.php';
function multiply($multiplicand, $multiplicator)
{
// 判断符号位
$flag = ($multiplicand ^ $multiplicator) < 0 ? false : true;
// 被乘数和乘数取绝对值
$multiplicand = $multiplicand < 0 ? add(~$multiplicand, 1) : $multiplicand;
$multiplicator = $multiplicator < 0 ? add(~$multiplicator, 1) : $multiplicator;
$product = 0;
$multiplicator = decbin($multiplicator);
$length = strlen($multiplicator);
for ($i = 0; $i < $length; $i ++) {
if ($multiplicator[$i]) {
$product += $multiplicand << $length - $i - 1;
}
}
if (! $flag) {
$product = add(~$product, 1);
}
return $product;
}
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