上述的p并没有做任何限制。由于a1,a2,..,an中包含的所有素因子在M/(M/a1,M/a2,..,M/an)中都为a1,a2,..,an中的最高次数，故有[a1,a2,..,an]=M/(M/a1,M/a2,..,M/an)成立。
得证。
定理1对于2个数的情况为[a,b]=ab/(ab/a,ab/b)=ab/(b,a)=ab/(a,b)，即[a,b]=ab/(a,b)。因此，定理1为2个数最小公倍数公式[a,b]=ab/(a,b)的扩展。利用定理1能够把求多个数的最小公倍数转化为求多个数的最大公约数。
2．多个数最大公约数的算法实现
根据定理1，求多个数最小公倍数可以转化为求多个数的最大公约数。求多个数的最大公约数(a1,a2,..,an)的传统方法是多次求两个数的最大公约数，即
（1）用辗转相除法[2]计算a1和a2的最大公约数(a1,a2)
（2）用辗转相除法计算(a1,a2)和a3的最大公约数，求得(a1,a2,a3)
（3）用辗转相除法计算(a1,a2,a3)和a4的最大公约数，求得(a1,a2,a3,a4)
（4）依此重复，直到求得(a1,a2,..,an)
上述方法需要n-1次辗转相除运算。
本文将两个数的辗转相除法扩展为n个数的辗转相除法，即用一次n个数的辗转相除法计算n个数的最大公约数，基本方法是采用反复用最小数模其它数的方法进行计算，依据是下面的定理2。
定理2：多个非负整数a1,a2,..,an，若aj>ai，i不等于j，则在a1,a2,..,an中用aj-ai替换aj，其最大公约数不变，即 (a1,a2,..,aj-1,aj,aj+1,..an)=(a1,a2,..,aj-1,aj-ai,aj+1,..an)。
例如：(34,24,56,68)=(34,24,56-34,68)=(34,24,22,68)。
证明：
根据最大公约数的交换律和结合率，有
(a1,a2,..,aj-1,aj,aj+1,..an)= ((ai,aj),(a1,a2,..,ai-1,ai+1,..aj-1,aj+1,..an))（i>j情况），或者
(a1,a2,..,aj-1,aj,aj+1,..an)= ((ai,aj),(a1,a2,..,aj-1,aj+1,..ai-1,ai+1,..an))（i<j情况）。
而对(a1,a2,..,aj-1,aj-ai,aj+1,..an)，有
(a1,a2,..,aj-1,aj-ai,aj+1,..an)= ((ai, aj-ai),( a1,a2,..,ai-1,ai+1,.. aj-1,aj+1,..an))（i>j情况），或者
(a1,a2,..,aj-1,aj-ai,aj+1,..an)= ((ai, aj-ai),( a1,a2,..,aj-1,aj+1,.. ai-1,ai+1,..an))（i<j情况）。
因此只需证明(ai,aj)=( ai, aj-ai)即可。
由于(aj-ai)= aj-ai，因此ai,aj的任意公因子必然也是(aj-ai)的因子，即也是ai,( aj-ai)的公因子。由于aj = (aj-ai)+ai，因此ai,( aj-ai)的任意公因子必然也是aj的因子，即也是ai,aj的公因子。所以，ai,aj的最大公约数和ai,(aj-ai) 的最大公约数必须相等，即(ai,aj)=(ai,aj-ai)成立。
得证。
定理2类似于矩阵的初等变换，即
令一个向量的最大公约数为该向量各个分量的最大公约数。对于向量<a1,a2,..,an>进行变换：在一个分量中减去另一个分量，新向量和原向量的最大公约数相等。
求多个数的最大公约数采用反复用最小数模其它数的方法，即对其他数用最小数多次去减，直到剩下比最小数更小的余数。令n个正整数为a1,a2,..,an，求多个数最大共约数的算法描述为：
（1）找到a1,a2,..,an中的最小非零项aj，若有多个最小非零项则任取一个
（2）aj以外的所有其他非0项ak用ak mod aj代替；若没有除aj以外的其他非0项，则转到（4）
（3）转到（3）
（4）a1,a2,..,an的最大公约数为aj
例如：对于5个数34, 56, 78, 24, 85，有
(34, 56, 78, 24, 85)=(10,8,6,24,13)=(4,2,6,0,1)=(0,0,0,0,1)=1，
对于6个数12, 24, 30, 32, 36, 42，有
(12, 24, 30, 32, 36, 42)=(12,0,6,8,0,6)=(0,0,0,2,0,6)=(0,0,0,2,0,0)=2。
3. 多个数最小共倍数的算法实现
求多个数最小共倍数的算法为：
（1）计算m=a1*a2*..*an
（2）把a1,a2,..,an中的所有项ai用m/ai代换
（3）找到a1,a2,..,an中的最小非零项aj，若有多个最小非零项则任取一个
（4）aj以外的所有其他非0项ak用ak mod aj代替；若没有除aj以外的其他非0项，则转到（6）
（5）转到（3）
（6）最小公倍数为m/aj