以前在学习堆时，写了两篇文章：数据结构--堆的实现(上) 和 数据结构--堆的实现(下)， 感觉对堆的认识还是不够。本文主要分析数据结构 堆(讨论小顶堆)的基本操作的一些细节，比如 insert(插入)操作 和 deleteMin(删除堆顶元素)操作的实现细节、分析建堆的时间复杂度、堆的优缺点及二叉堆的不足。
二，堆的实现分析
堆的物理存储结构是一维数组，逻辑存储结构是完全二叉树。堆的基本操作有：insert--向堆中插入一个元素；deleteMin--删除堆顶元素
故堆的类架构如下：
public class BinaryHeap<T extends Comparable<? super T>> { private T[] array; private int currentSize; public BinaryHeap() { } public BinaryHeap(T[] array){ } public void insert(T x){ //do something } public T deleteMin(){ } //other operations.... }
①insert操作
1 public void insert(T x){ 2 if(currentSize == array.length - 1)//数组0号位置作为哨兵 3 enlarge(array.length * 2 + 1);0 4 5 int hole = currentSize++; 6 for(array[0] = x; x.compareTo(array[hole / 2]) < 0; hole /= 2) 7 array[hole] = array[hole / 2];//将父节点往下移 8 array[hole] = x;//将待插入的元素放置到合适位置 9 }
1）数组0号元素作为哨兵，可以避免交换操作。
因为，在与父节点的比较过程中，若父节点比待插入的节点大(子节点)，则需要交换父节点和待插入节点。而引入哨兵，将待插入节点保存在数组0号元素处，当父节点比待插入的节点大时，直接用父节点替换待插入的节点大(子节点)。
2）复杂度分析
可以看出，最坏情况下，比较进行到根节点时会结束。因此，insert操作时间取决于树的高度。故复杂度为O(logN)。但是在平均情况下，insert操作只需要O(1)时间就能完成，因为毕竟并不是所有的节点都会被调度至根结点，只有在待插入的节点的权值最小时才会向上调整堆顶。
此外，对于二叉树，求解父节点操作： hole = hole / 2， 除以2可以使用右移一位来实现。
因此，可以看出d叉树(完成二叉树 d=2 )，当 d 很大时，树的高度就很小，插入的性能会有一定的提高。为什么说是一定的？？后面会详细分析。
②deleteMin操作
deleteMin操作将堆中最后一个元素替换第一个元素，然后在第一个元素处向下进行堆调整。
1 public AnyType deleteMin( ) 2 { 3 if( isEmpty( ) ) 4 throw new UnderflowException( ); 5 6 AnyType minItem = findMin( ); 7 array[ 1 ] = array[ currentSize-- ];//最后一个元素替换堆顶元素 8 percolateDown( 1 );//向下执行堆调整 9 10 return minItem; 11 }
1 /**
2 * Internal method to percolate down in the heap.
3 *@param hole the index at which the percolate begins.
4 */
5 private void percolateDown( int hole )
6 {
7 int child;
8 AnyType tmp = array[ hole ];
9
10 for( ; hole * 2 <= currentSize; hole = child )
11 {
12 child = hole * 2;
13 if( child != currentSize &&
14 array[ child + 1 ].compareTo( array[ child ] ) < 0 )
15 child++;
16 if( array[ child ].compareTo( tmp ) < 0 )
17 array[ hole ] = array[ child ];
18 else
19 break;
20 }
21 array[ hole ] = tmp;
22 }
当从第一个元素(堆顶元素)处向下进行堆调整时，一般该元素会被调整至叶子结点。堆顶元素的高度为树的高度。故时间复杂度为：O(logN)。
③其他一些操作
1）decreaseKey(p,Δ)/increaseKey(p,Δ)---更改位置p处元素的权值
这两个操作一般不常用。它们会破坏堆的性质。因此，当修改了p处元素的权值时，需要进行堆调整(decreseKey为向上调整，increaseKey为向下调整)
2）delete(p)--删除堆中位置为p处的元素
前面介绍的deleteMin操作删除的是堆顶元素，那如何删除堆中的任一 一个元素？
其实，可以将删除堆中任一 一个元素（该元素位置为 p）转换成删除堆顶元素。