生成一个数据立方体，该立方体的每一个结点都是一个整体度量的聚合函数（如 COUNT( DISTINCT ) )，如何使用 MapReduce 生成该数据立方体？
解法：
（1）生成该立方体的所有结点 Ri ，表示为数据立方体集合 C = {R1, R2, R3, ...}。
（2）度量（聚集函数）分为代数度量和整体度量，代数度量是可任意分布化的度量，整体度量是无法分布化的度量。本文认为，很多整体度量具有部分代数度量的性质。
即对于 a 列， M(D) = M'[A(D)]，D是一个数据集合，M是整体度量，M'是一个代数度量，A是另一个整体度量。满足这样性质的就称为对 a 具有部分代数性质。
如 COUNT_DISTINCT(a)。其中 M=COUNT_DISTINCT(a)，M'=COUNT()，A=GROUP_BY(a)
因此，对于整体度量来说，就是按值进行分区，即按“分区因子”进行分发。
（3）在处理每个立方体结点时（SELECT agg() FROM data GROUP BY a WHERE ...），按值分区采取一道取样估算的MapReduce作业，估算按 a 分发到 reduce 端的数据量，r 为一个 reduce 所处理的数据占总数据的百分比，取样的数量 N > 100 / r，通常取 2000 / r。如果当前结点的数据量大于 0.75rN（一个 reducer 所能容纳数据的 75%），我们就把这个结点Ri标记为 “reduce不友好”。同时“reduce不友好”的结点会有一个分区因子，值为 s / rN。
至此，立方体结点的集合 C 被改写为带标注的立方体结点的集合 Ca = {R1a, R2a, R3a, ...}，Ria 是带有分区因子的结点。
（4）已经获得了具有标注的立方体，我们把 Ca 中的结点划分为若干个“批处理区域” Bia, 每一个批处理区域包含若干个结点 Ca = {B1a, B2a, B3a, ...}。
“批处理区域”的约束条件为：
1、一个父结点“reduce友好”的结点，必须属于一个包含它的至少一个父结点的“批处理区域”；
2、没有两个父结点“reduce不友好”的结点能够属于同一个“批处理区域”；
3、任意两个“批处理区域”的差不能多于2。
有两种“批处理区域”划分算法：
1、贪心算法：即将晶格最底下的（粒度最大的）结点作为初始“批处理区域”，找出符合约束条件的结点数最少的情况，作为一个“批处理区域”。
2、枚举算法：通过定义 cost（产生终间数据量）彻底枚举 cost 最小的情况作为一个“批处理区域”，注意这种情况只适用于结点较少的情况。
（5）执行真正的 MapReduce 立方体生成算法。
Map：输入为每个元组，输出的 Key 为 每个“批处理区域”的最底层结点和“分区因子”，Value为元组本身。每条元组输出 | {B1a, B2a, B3a, ...}| 次。
Shuffle：“批处理区域”相同且“分区因子”相同的元组被分发到同一个 reduce，每个 reduce 获得可构成一个小立方体的元组集，若干个 reduce 构成一个“批处理区域”。
Reduce：在 reduce 端对这个小立方体进行自底向上的立方体生成（BUC），这里所采用的度量是 A 。所以，每一个 reduce 会在 HDFS 物化一个小立方体。
Post：将 reduce 输出的数据，按相同的批处理区域进行聚合，这里所采用的度量是 M'，合并成一系列的中号立方体。
（6）将中号立方体进行聚合，生成整体大立方体，写入到数据库，用作报表分析。
该解法有如下问题：
1、C = {R1, R2, R3, ...} 如何生成？
2、Ca = {B1a, B2a, B3a, ...} 在数据量较大的情况下如何生成？
3、Map 端产生的数据依然是元始数据的数倍。|{B1a, B2a, B3a, ...}| 倍。
4、Post 处理的数据量大时如何处理？
5、结果写入数据库如何查询？