BPR算法采用的是最大化后验概率来估计参数（关于什么是最大化后验概率，可移步我的另外一篇文章：似然与概率的异同），因此，这里用到了贝叶斯公式。
之前已经假设每个用户之间的偏好行为相互独立，同一用户对不同物品的偏序相互独立，所以：
δ(b)函数返回1 如果条件b成立， 否则返回0。D为训练集， (u,i,j) 表示关系，即相对于j，用户u更喜欢 i 。
由于
其中，δ()为sigmod函数，用户 u 相比于 j 更喜欢 i 通过借助用户 u 对 i 的喜欢程度与对 j 的喜欢程度的差进行度量。
因此，
目标是求解θ。 由于采用最大后验估计来学习参数，所以假设θ服从正态分布：
根据概率密度函数，求得：
关于这个等式的推导，笔者尝试将概率分布带入到概率密度函数中，发现并不能推导出来，但是由于存在正比关系，所以可以近似等于。
所以，最终的后验概率估计函数为：
通过最大化这个函数，可以求出参数W和H。
6. Bayesian Personalized Ranking算法实现网上开源的BPR代码有很多，这里着重表达一下用户embedding矩阵和物品embedding矩阵，以及损失函数的构造。其中损失函数为最小化上一小节的最大后验概率函数。
回顾Bayesian Personalized Ranking 算法，有以下三点值得回味：
1. θ的正态分布（先验）形式：
之所以这样设计，笔者以为有两点：一是方便取对数、二是能与正则化联系起来。
2. 用户 u 相比于 j 更喜欢 i 通过借助用户 u 对 i 的喜欢程度与对 j 的喜欢程度的差进行度量。这当然是最直观的表示方法，当然也可以加以改进。
3. 万物皆可embedding ！通过对用户以及物品分别构造embedding向量，从而完成用户对物品喜好程度的计算。