证：在\(x \in [a,b]\)时，\(\varphi^{'}(x)\)存在，所以有\(\varphi(x)\)连续，于是可以作\(g(x) = x - \varphi(x)\)，易知\(g(x)\)连续。
又因为\(\varphi(x) \in [a,b]\)，且\(g(a)*g(b)<0\),故存在实根，使得\(x=\varphi(x)\)。
利用反证法：若在[a,b]上还有一实根\(\bar{x}\)，那么通过拉格朗日中值定理必定有：
\[x^*-\bar{x} = \varphi(x^*)-\varphi(\bar{x}) = \varphi^{'}(\xi)(x^*-\bar{x})\Longrightarrow \varphi^{'}(\xi) = 1 \]