已知线段1(a,b) 和线段2(c,d) ,其中a b c d为端点, 求线段交点p .(平行或共线视作不相交)
算法一: 求两条线段所在直线的交点, 再判断交点是否在两条线段上.
求直线交点时 我们可通过直线的一般方程 ax+by+c=0 求得(方程中的abc为系数,不是前面提到的端点,另外也可用点斜式方程和斜截式方程,此处暂且不论).
然后根据交点的与线段端点的位置关系来判断交点是否在线段上.
公式如下图:
<code>function segmentsIntr(a, b, c, d){ /** 1 解线性方程组, 求线段交点. **/ // 如果分母为0 则平行或共线, 不相交 var denominator = (b.y - a.y)*(d.x - c.x) - (a.x - b.x)*(c.y - d.y); if (denominator==0) { return false; } // 线段所在直线的交点坐标 (x , y) var x = ( (b.x - a.x) * (d.x - c.x) * (c.y - a.y) + (b.y - a.y) * (d.x - c.x) * a.x - (d.y - c.y) * (b.x - a.x) * c.x ) / denominator ; var y = -( (b.y - a.y) * (d.y - c.y) * (c.x - a.x) + (b.x - a.x) * (d.y - c.y) * a.y - (d.x - c.x) * (b.y - a.y) * c.y ) / denominator; /** 2 判断交点是否在两条线段上 **/ if ( // 交点在线段1上 (x - a.x) * (x - b.x) <= 0 && (y - a.y) * (y - b.y) <= 0 // 且交点也在线段2上 && (x - c.x) * (x - d.x) <= 0 && (y - c.y) * (y - d.y) <= 0 ){ // 返回交点p return { x : x, y : y } } //否则不相交 return false } </code>
算法一思路比较清晰易懂, 但是性能并不高. 因为它在不确定交点是否有效(在线段上)之前, 就先去计算了交点, 耗费了较多的时间.
如果最后发现交点无效, 那么之前的计算就白折腾了. 而且整个计算的过程也很复杂.
那么有没有一种思路,可以让我们先判断是否存在有效交点,然后再去计算它呢?
显然答案是肯定的. 于是就有了后面的一些算法.
算法二: 判断每一条线段的两个端点是否都在另一条线段的两侧, 是则求出两条线段所在直线的交点, 否则不相交.
第一步判断两个点是否在某条线段的两侧, 通常可采用投影法:
求出线段的法线向量, 然后把点投影到法线上, 最后根据投影的位置来判断点和线段的关系.
见下图
点a和点b在线段cd法线上的投影如图所示, 这时候我们还要做一次线段cd在自己法线上的投影(选择点c或点d中的一个即可).
主要用来做参考.
图中点a投影和点b投影在点c投影的两侧, 说明线段ab的端点在线段cd的两侧.
同理, 再判断一次cd是否在线段ab两侧即可.
求法线 , 求投影 什么的听起来很复杂的样子, 实际上对于我来说也确实挺复杂,在几个月前我也不会(念书那会儿的几何知识都忘光了 :'( )'
不过好在学习和实现起来还不算复杂, 皆有公式可循
求线段ab的法线:
var nx=b.y - a.y, ny=a.x - b.x; var normalLine = { x: nx, y: ny };
注意: 其中 normalLine.x和normalLine.y的几何意义表示法线的方向, 而不是坐标.
求点c在法线上的投影位置:
var dist= normalLine.x*c.x + normalLine.y*c.y;
注意: 这里的"投影位置"是一个标量, 表示的是到法线原点的距离, 而不是投影点的坐标.
通常知道这个距离就足够了.
当我们把图中 点a投影(distA),点b投影(distB),点c投影(distC) 都求出来之后, 就可以很容易的根据各自的大小判断出相对位置.
distA==distB==distC 时, 两条线段共线
distA==distB!=distC 时, 两条线段平行
distA 和 distB 在distC 同侧时, 两条线段不相交.
distA 和 distB 在distC 异侧时, 两条线段是否相交需要再判断点c点d与线段ab的关系.
前面的那些步骤, 只是实现了"判断线段是否相交", 当结果为true时, 我们还需要进一步求交点.
求交点的过程后面再说, 先看一下该算法的完整实现 :
function segmentsIntr(a, b, c, d){ //线段ab的法线N1 var nx1 = (b.y - a.y), ny1 = (a.x - b.x); //线段cd的法线N2 var nx2 = (d.y - c.y), ny2 = (c.x - d.x); //两条法线做叉乘, 如果结果为0, 说明线段ab和线段cd平行或共线,不相交 var denominator = nx1*ny2 - ny1*nx2; if (denominator==0) { return false; } //在法线N2上的投影 var distC_N2=nx2 * c.x + ny2 * c.y; var distA_N2=nx2 * a.x + ny2 * a.y-distC_N2; var distB_N2=nx2 * b.x + ny2 * b.y-distC_N2; // 点a投影和点b投影在点c投影同侧 (对点在线段上的情况,本例当作不相交处理); if ( distA_N2*distB_N2>=0 ) { return false; } // //判断点c点d 和线段ab的关系, 原理同上 // //在法线N1上的投影 var distA_N1=nx1 * a.x + ny1 * a.y; var distC_N1=nx1 * c.x + ny1 * c.y-distA_N1; var distD_N1=nx1 * d.x + ny1 * d.y-distA_N1; if ( distC_N1*distD_N1>=0 ) { return false; } //计算交点坐标 var fraction= distA_N2 / denominator; var dx= fraction * ny1, dy= -fraction * nx1; return { x: a.x + dx , y: a.y + dy }; }
最后 求交点坐标的部分 所用的方法看起来有点奇怪, 有种摸不着头脑的感觉.
其实它和算法一 里面的算法是类似的,只是里面的很多计算项已经被提前计算好了.
换句话说, 算法二里求交点坐标的部分 其实也是用的直线的线性方程组来做的.
现在来简单粗略 很不科学的对比一下算法一和算法二:
1、最好情况下, 两种算法的复杂度相同
2、最坏情况, 算法一和算法二的计算量差不多
3、但是算法二提供了 更多的”提前结束条件”,所以平均情况下,应该算法二更优.
实际测试下来, 实际情况也确实如此.