二、几何学范畴
1、初等几何-测量几何
在希腊语中，“几何学”是由“地”与“测量”合并而来的，本来有测量土地的含义，意译就是“测地术”。“几何学”这个名词，系我国明代数学家根据读音译出的，沿用至今。
现在的初等几何主要是指欧几里得几何，它是讨论图形(点、线、面、角、圆等)在运动下的不变性质的科学。例如，欧氏几何中的两点之间的距离，两条直线相交的交角大小，半径是r的某一圆的面积等都是一些运动不变量。
初等几何作为一门课程来讲，安排在初等代数之后；然而在历史上，几何学的发展曾优先于代数学，它主要被认为是古希腊人的贡献。
几何学舍弃了物质所有的其它性质，只保留了空间形式和关系作为自己研究的对象，因此它是抽象的。这种抽象决定了几何的思维方法，就是必须用推理的方法，从一些结论导出另一些新结论。定理是用演绎的方式来证明的，这种论证几何学的代表作，便是公元前三世纪欧几里得的《原本》，它从定义与公理出发，演绎出各种几何定理。
现在中学《*面三角》中关于三角函数的理论是15世纪才发展完善起来的，但是它的一些最基本的概念，却早在古代研究直角三角形时便己形成。因此，可把三角学划在初等几何这一标题下。
古代埃及、巴比伦、中国、希腊都研究过有关球面三角的知识。公元前2世纪，希帕恰斯制作了弦表，可以说是三角的创始人。后来印度人制作了正弦表；阿拉伯的阿尔·巴塔尼用计算sinθ值的方法来解方程，他还与阿布尔·沃法共同导出了正切、余切、正割、余割的概念；赖蒂库斯作了较精确的正弦表，并把三角函数与圆弧联系起来。
由于直角三角形是最简单的直线形，又具有很重要的实用价值，所以各文明古国都极重视它的研究。我国《周髀算经》一开始就记载了周朝初年(约公元前1100年左右)的周公与学者商高的对话，其中就谈到“勾三股四弦五”，即勾股定理的特殊形式；还记载了在周公之后的陈子，曾用勾股定理和相似图形的比例关系，推算过地球与太阳的距离和太阳的直径，同时为勾股定理作的图注达几十种之多。在国外，传统称勾股定理为毕达哥拉斯定理，认为它的第一个一致性的证明源于毕氏学派(公元前6世纪)，虽然巴比伦人在此以前1000多年就发现了这个定理。到现在人们对勾股定理已经至少提供了370种证明。
19世纪以来，人们对于关于三角形和圆的初等综合几何，又进行了深入的研究。至今这一研究领域仍然没有到头，不少资料已引申到四面体及伴随的点、线、面、球。
2、射影几何-变换几何
射影几何学是一门讨论在把点射影到直线或*面上的时候，图形的不变性质的一门几何学。幻灯片上的点、线，经过幻灯机的照射投影，在银幕上的图画中都有相对应的点线，这样一组图形经过有限次透视以后，变成另一组图形，这在数学上就叫做射影对应。射影几何学在航空、摄影和测量等方面都有广泛的应用。
射影几何是迪沙格和帕斯卡在1639年开辟的。迪沙格发表了—本关于圆维曲线的很有独创性的小册子，从开普勒的连续性原理开始，导出了许多关于对合、调和变程、透射、极轴、极点以及透视的基本原理，这些课题是今天学*射影几何这门课程的人所熟悉的。年仅16岁的帕斯卡得出了一些新的、深奥的定理，并于9年后写了一份内容很丰富的手稿。18世纪后期，蒙日提出了二维*面上的适当投影表达三维对象的方法，因而从提供的数据能快速算出炮兵阵地的位置，避开了冗长的、麻烦的算术运算。
射影几何真正独立的研究是由彭赛勒开创的。1822年，他发表了《论图形的射影性质》一文，给该领域的研究以巨大的推动作用。他的许多概念被斯坦纳进一步发展。1847年，斯陶特发表了《位置几何学》一书，使射影几何最终从测量基础中解脱出来。
后来证明，采用度量适当的射影定义，能在射影几何的范围内研究度量几何学。将一个不变二次曲线添加到*面上的射影几何中，就能得到传统的非欧几何学。在19世纪晚期和20世纪初期，对射影几何学作了多种公设处理，并且有限射影几何也被发现。事实证明，逐渐地增添和改变公设，就能从射影几何过渡到欧几里得几何，其间经历了许多其它重要的几何学。
3、解析几何-代数几何化
解析几何即坐标几何，包括*面解析几何和立体解析几何两部分。解析几何通过*面直角坐标系和空间直角坐标系，建立点与实数对之间的一一对应关系，从而建立起曲线或曲面与方程之间的一一对应关系，因而就能用代数方法研究几何问题，或用几何方法研究代数问题。
在初等数学中，几何与代数是彼此独立的两个分支；在方法上，它们也基本是互不相关的。解析几何的建立，不仅由于在内容上引入了变量的研究而开创了变量数学，而且在方法上也使几何方法与代数方法结合起来。
在迪沙格和帕斯卡开辟了射影几何的同时，笛卡儿和费尔马开始构思现代解析几何的概念。这两项研究之间存在一个根本区别：前者是几何学的一个分支，后者是几何学的一种方法。
1637年，笛卡儿发表了《方法论》及其三个附录，他对解析几何的贡献，就在第三个附录《几何学》中，他提出了几种由机械运动生成的新曲线。在《*面和立体轨迹导论》中，费尔马解析地定义了许多新的曲线。在很大程度上，笛卡儿从轨迹开始，然后求它的方程；费尔马则从方程出发，然后来研究轨迹。这正是解析几何基本原则的两个相反的方面，“解析几何”的名称是以后才定下来的。
这门课程达到现在课本中熟悉的形式，是100多年以后的事。象今天这样使用坐标、横坐标、纵坐标这几个术语，是莱布尼兹于1692年提出的。1733年，年仅18岁的克雷洛出版了《关于双重曲率曲线的研究》一书，这是最早的一部空间解析几何著作。1748年，欧拉写的《无穷分析概要》，可以说是符合现代意义的第一部解析几何学教程。1788年，拉格朗日开始研究有向线段的理论。1844年，格拉斯曼提出了多维空间的概念，并引入向量的记号。于是多维解析几何出现了。
解析几何在*代的发展，产生了无穷维解析几何和代数几何等一些分支。普通解析几何只不过是代数几何的一部分，而代数几何的发展同抽象代数有着密切的联系。
4、非欧几何-广义空间几何
非欧几何有三种不同的含义：狭义的，单指罗氏(罗巴切夫斯基)几何；广义的，泛指一切和欧氏(欧几里得)几何不同的几何；通常意义的，指罗氏几何和黎曼几何。
欧几里得的第5公设(*行公设)在数学史上占有特殊的地位，它与前4条公设相比，性质显得太复杂了。它在《原本》中第一次应用是在证明第29个定理时，而且此后似乎总是尽量避免使用它。因此人们怀疑第五公设的公理地位，并探索用其它公理来证明它，以使它变为一条定理。在三千多年的时间中，进行这种探索并有案可查的就达两千人以上，其中包括许多知名的数学家，但他们都失败了。
罗巴契夫斯基于1826年，鲍耶于1832年发表了划时代的研究结果，开创了非欧几何。在这种几何中，他们假设“过不在已知直线上的一点，可以引至少两条直线*行于已知直线”，用以代替第五公设，同时保留了欧氏几何的其它公设。
1854年，黎曼推出了另一种非欧几何。在这种几何中，他假设“过已知直线外一点，没有和已知直线*行的直线可引”，用以代替第5公设，同时保留了欧氏几何的其它公设。1871年，克莱因把这3种几何：罗巴契夫斯基—鲍耶的、欧几里得的和黎曼的分别定名为双曲几何、抛物几何和椭圆几何。
非欧几何的发现不仅最终解决了*行公设的问题——*行公设被证明是独立于欧氏几何的其它公设的，而且把几何学从其传统模型中解放出来，创造了许多不同体系的几何的道路被打开了。
1854年，黎曼发表了“关于作为几何学基础的假设的讲演”。他指出：每种不同的(两个无限靠*的点的)距离公式决定了最终产生的空间和几何的性质。1872年，克莱因建立了各种几何系统按照不同变换群不变量的分类方法。
19世纪以后，几何空间概念发展的另一方向，是按照所研究流形的微分几何原则的分类，每一种几何都对应着一种定理系统。1899年，希尔伯特发表了《几何基础》一书，提出了完备的几何公理体系，建立了欧氏几何的严密的基础，并给出了证明一个公理体系的相容性(无矛盾性)、独立性和完备性的普遍原则。按照他的观点，不同的几何空间乃是从属于不同几何公理要求的元素集合。欧氏几何和非欧几何，在大量的几何系统中，只不过是极其特殊的情形罢了。
5、拓扑学-代数拓扑和几何拓扑
1736年，欧拉发表论文，讨论哥尼斯堡七桥问题。他还提出球面三角形剖分图形顶点、边、面之间关系的欧拉公式，这可以说是拓扑学的开端。
庞加莱于1895～1904年建立了拓扑学，采用代数组合的方法研究拓扑性质。他把欧拉公式推广为欧拉—庞加莱公式，与此有关的理论现在称为同调理论和同伦理论。以后的拓扑学主要按照庞加莱的设想发展。
拓扑学开始是几何学的一个分支，在二十世纪它得到了极大的推广。1906年，弗雷歇发表博士论文，把函数作为一个“点”来看，把函数收敛描绘成点的收敛，这就把康托的点集论和分析学的抽象化联系起来了。他在函数所构成的集合中引入距离的概念，构成距离空间，展开了线性距离空间的理论。在这个基础上，产生了点集拓扑学。在豪斯道夫的《点集论纲要》一书中，出现了更一般的点集拓扑学的完整想法。第二次世界大战后，把分析引进拓扑，发展了微分拓扑。
现在的拓扑学可以粗略地定义为对于连续性的数学研究。任何事物的集合都能在某种意义上构成拓扑空间，拓扑学的概念和理论已基本完组成为数学的基础理论之一，渗入到各个分支，并且成功地应用于电磁学和物理学的研究。
三、分析学范畴