同理，第k个主成分的表达式为：
我们知道用主成分的方差来衡量其所能解释的数据集的方差，而主成分的方差就是X的协方差矩阵的特征值λ，所以第k个主成分的方差就是λk。我们来定义一个指标，叫做主成分Yk的方差贡献率，它是第k个主成分的方差占总方差的比例：
那么前k个主成分的方差累计贡献率为：
如果前k个主成分的方差累计贡献率超过了85%，那么说明用前k个主成分去代替原来的n个变量后，不能解释的方差不足15%，没有损失太多信息，于是我们可以把n个变量减少为k个变量，达到降维的目的。
五、主成分分析法的流程总结
我们为了推导出主成分分析法的线性代数解法，铺垫了很多，但推导出的结果却是相当简洁漂亮。现在我们省略中间的过程，看主成分分析法的计算流程。
假设我们拿到了一份数据集，有m个样本，每个样本由n个特征（变量）来描述，那么我们可以按照以下的步骤进行降维：
1、将数据集中的每个样本作为列向量，按列排列构成一个n行m列的矩阵；
2、将矩阵的每一个行向量（每个变量）都减去该行向量的均值，从而使得新行向量的均值为0，得到新的数据集矩阵X；
3、求X的协方差矩阵
4、按照特征值从大到小的顺序，将单位特征向量排列成矩阵，得到转换矩阵P，并按PX计算出主成分矩阵；
5、用特征值计算方差贡献率和方差累计贡献率，取方差累计贡献率超过85%的前k个主成分，或者想降至特定的k维，直接取前k个主成分。
六、主成分分析法计算的案例
为了更好地掌握主成分分析法的计算过程，我们来看一个例子。
假设我们想研究上海、北京房地产指数与其他价格指数之间的关系，设定了4个变量，如下表所示。
样本数据取自1997年1月～2000年6月的统计资料，时间跨度为42个月，因此样本容量为m=42，为了简单起见，数据就不展示了。
第一步：计算数据集的协方差矩阵
将每个样本作为列向量构成一个矩阵，并对矩阵的每一个行向量进行0均值化，得到了4行42列的数据集矩阵X。我们直接由X得到其协方差矩阵：
第二步：计算协方差矩阵的特征值和单位特征向量
我们用numpy来计算，代码如下：
import numpy as np from numpy import linalg # 协方差矩阵 C = [[1,-0.339,0.444,0.525], [-0.339,1,0.076,-0.374], [0.444,0.076,1,0.853], [0.525,-0.374,0.853,1]] # 计算特征值和特征向量 value,vector = linalg.eig(C) print(\'特征值为：\',np.round(value,4),\'\n\') for i in range(4): print(\'特征值\',np.round(value[i],4),\'对应的特征向量为:\n\',np.round(vector[:,i].T,4),\'\n\') # 求每一列的L2范数,如果都是1，则已经单位化了。 print(\'特征向量已经是单位特征向量了：\',linalg.norm(vector,ord=2,axis=0))