正定矩阵和半正定矩阵 (3)

日期：2021-10-16 栏目：程序人生浏览：次

当我们希望

$y=\boldsymbol{x}^TA\boldsymbol{x}\geq0$

对于任意向量

$\boldsymbol{x}$

都恒成立，就要求矩阵

$A$

是一个半正定矩阵，对应于二次函数，

$y=ax^2/p0,\forall x$ 需要使得

$a\geq0$

另外，在

$y=ax^2$

中，我们还知道：若

$a/p0$ ，则对于任意

$x\neq 0$

，有

$y/p0$ 恒成立。

这在

$y=\boldsymbol{x}^TA\boldsymbol{x}$

也有契合之处，当矩阵

$A$

是正定矩阵时，对于任意

$\boldsymbol{x}\neq \boldsymbol{0}$

，

$y/p0$ 恒成立。

3. 正定矩阵和半正定矩阵的直观解释

若给定任意一个正定矩阵

$A\in\mathbb{R}^{n\times n}$

和一个非零向量

$\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^{n}$

，则两者相乘得到的向量

$\boldsymbol{y}=A\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^{n}$

与向量

$\boldsymbol{x}$

的夹角恒小于

$\frac{\pi}{2}$

. (等价于：

$\boldsymbol{x}^TA\boldsymbol{x}/p0$ .)

【例3】给定向量

$\boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ \end{array} \right]\in\mathbb{R}^{2}$

，对于单位矩阵

$I=\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array}\right] \in\mathbb{R}^{2\times 2}$

，则