概率与期望习题总结 (2)

注意 \(f3[i]\) 还要算上不增加的贡献

代码 #include<cstdio> const int maxn=1e5+5; double f1[maxn],f2[maxn],f3[maxn],p[maxn],ans; int n; int main(){ scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;i++){ scanf("%lf",&p[i]); } for(int i=1;i<=n;i++){ f1[i]=(f1[i-1]+1.0)*p[i]; f2[i]=(f2[i-1]+2.0*f1[i-1]+1)*p[i]; f3[i]=(f3[i-1]+3.0*f1[i-1]+3.0*f2[i-1]+1.0)*p[i]+(1-p[i])*f3[i-1]; } printf("%.1f\n",f3[n]); return 0; } 5、守卫者的挑战 题目描述

打开了黑魔法师 \(Vani\) 的大门，队员们在迷宫般的路上漫无目的地搜寻着关押\(applepi\)的监狱的所在地。突然，眼前一道亮光闪过。“我，\(Nizem\)，是黑魔法圣殿的守卫者。如果你能通过我的挑战，那么你可以带走黑魔法圣殿的地图……”瞬间，队员们被传送到了一个擂台上，最初身边有一个容量为\(K\)的包包。

擂台赛一共有\(N\)项挑战，各项挑战依次进行。第\(i\)项挑战有一个属性\(a_i\)，如果\(a_i>=0\)，表示这次挑战成功后可以再获得一个容量为\(a_i\)的包包；如果\(a_i=-1\)，则表示这次挑战成功后可以得到一个大小为\(1\) 的地图残片。地图残片必须装在包包里才能带出擂台，包包没有必要全部装满，但是队员们必须把 【获得的所有的】地图残片都带走（没有得到的不用考虑，只需要完成所有\(N\)项挑战后背包容量足够容纳地图残片即可），才能拼出完整的地图。并且他们至少要挑战成功\(L\)次才能离开擂台。

队员们一筹莫展之时，善良的守卫者\(Nizem\)帮忙预估出了每项挑战成功的概率，其中第\(i\)项挑战成功的概率为\(p_i\%\)。现在，请你帮忙预测一下，队员们能够带上他们获得的地图残片离开擂台的概率。

输入格式

第一行三个整数\(N,L,K\)。

第二行\(N\)个实数，第\(i\)个实数\(p_i\)表示第\(i\)项挑战成功的百分比。

第三行\(N\)个整数，第\(i\)个整数\(a_i\)表示第\(i\)项挑战的属性值.

输出格式

一个整数，表示所求概率，四舍五入保留\(6\) 位小数。

样例 样例输入1

3 1 0
10 20 30
-1 -1 2

样例输出1

0.300000

样例输入2

5 1 2
36 44 13 83 63
-1 2 -1 2 1

样例输出2

0.980387

数据范围与提示

若第三项挑战成功，如果前两场中某场胜利，队员们就有空间来容纳得到的地图残片，如果挑战失败，根本就没有获得地图残片，不用考虑是否能装下；

若第三项挑战失败，如果前两场有胜利，没有包来装地图残片，如果前两场都失败，不满足至少挑战成功次（）的要求。因此所求概率就是第三场挑战获胜的概率。

对于 \(100\%\) 的数据，保证\(0<=K<=2000\)，\(0<=N<=200\)，\(-1<=ai<=1000\)，\(0<=L<=N\)，\(0<=p_i<=100\)。

分析

设 \(f[i][j][k]\) 为前 \(i\) 回合赢了 \(j\) 回合剩余背包体积为 \(k\) 的概率

其中转移过程中体积可以为负数，因为可以暂时不把碎片放到背包里

转移方程为

\(f[i][j][k+a[i]]=f[i-1][j][k+a[i]] \times (1.0-p[i])\)

\(if(j) f[i][j][k+a[i]]=f[i-1][j-1][k] \times p[i]\)

代码 #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cmath> const int maxn=205; const int bas=200; double f[maxn][maxn][maxn<<1],p[maxn]; int n,l,k,a[maxn]; int main(){ scanf("%d%d%d",&n,&l,&k); for(int i=1;i<=n;i++){ int aa; scanf("%d",&aa); p[i]=aa/100.0; } for(int i=1;i<=n;i++){ scanf("%d",&a[i]); } f[0][0][k+bas]=1; for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=0;j<=i;j++){ for(int k=-200;k<=200;k++){ f[i][j][std::min(k+bas+a[i],400)]=f[i-1][j][std::min(k+bas+a[i],400)]*(1.0-p[i]); if(j) f[i][j][std::min(k+bas+a[i],400)]+=f[i-1][j-1][std::min(k+bas,400)]*p[i]; } } } double ans=0; for(int i=l;i<=n;i++){ for(int j=bas;j<=200+bas;j++){ ans=ans+f[n][i][j]; } } printf("%.6f\n",ans); return 0; } 6、 Easy 题目描述

某一天\(WJMZBMR\)在打\(osu\)但是他太弱逼了，有些地方完全靠运气:(

我们来简化一下这个游戏的规则