前面总结了随机算法，这次再把以前写的递归算法的文章梳理一下，这篇文章主要是受到宋劲松老师写的《Linux C编程》的递归章节启发写的。最能体现算法精髓的非递归莫属了，希望这篇文章对初学递归或者对递归有困惑的朋友们能有所帮助，如有错误，也恳请各路大牛指正。二叉树的递归示例代码请参见仓库的 binary_tree 目录，本文其他代码在 这里。
1.递归算法初探本段内容主要摘自《linux C一站式编程》，作者是宋劲松老师，这是我觉得目前看到的国内关于Linux C编程的最好的技术书籍之一，强烈推荐下！
关于递归的一个简单例子是求整数阶乘，n!=n*(n-1)!，0!=1 。则可以写出如下的递归程序：
int factorial(int n) { if (n == 0) return 1; else { int recurse = factorial(n-1); int result = n * recurse; return result; } } 复制代码factorial这个函数就是一个递归函数，它调用了它自己。自己直接或间接调用自己的函数称为递归函数。如果觉得迷惑，可以把 factorial(n-1) 这一步看成是在调用另一个函数－－另一个有着相同函数名和相同代码的函数，调用它就是跳到它的代码里执行，然后再返回 factorial(n-1) 这个调用的下一步继续执行。
为了证明递归算法的正确性，我们可以一步步跟进去看执行结果。记得刚学递归算法的时候，老是有丈二和尚摸不着头脑的感觉，那时候总是想着把递归一步步跟进去看执行结果。递归层次少还算好办，但是层次一多，头就大了，完全不知道自己跟到了递归的哪一层。比如求阶乘，如果只是factorial(3)跟进去问题还不大，但是若是factorial(100)要跟进去那真的会烦死人。
事实上，我们并不是每个函数都需要跟进去看执行结果的，比如我们在自己的函数中调用printf函数时，并没有钻进去看它是怎么打印的，因为我们相信它能完成打印工作。 我们在写factorial函数时有如下代码：
int recurse = factorial(n-1); int result = n * recurse; 复制代码这时，如果我们相信factorial是正确的，那么传递参数为n-1它就会返回(n-1)!，那么result=n*(n-1)!=n!，从而这就是factorial(n)的结果。
当然这有点奇怪：我们还没写完factorial这个函数，凭什么要相信factorial(n-1)是正确的？如果你相信你正在写的递归函数是正确的，并调用它，然后在此基础上写完这个递归函数，那么它就会是正确的，从而值得你相信它正确。
这么说还是有点玄乎，我们从数学上严格证明一下 factorial 函数的正确性。刚才说了，factorial(n) 的正确性依赖于 factorial(n-1) 的正确性，只要后者正确，在后者的结果上乘个 n 返回这一步显然也没有疑问，那么我们的函数实现就是正确的。因此要证明factorial(n) 的正确性就是要证明 factorial(n-1) 的正确性，同理，要证明factorial(n-1) 的正确性就是要证明 factorial(n-2) 的正确性，依此类推下去，最后是：要证明 factorial(1) 的正确性就是要证明 factorial(0) 的正确性。而factorial(0) 的正确性不依赖于别的函数调用，它就是程序中的一个小的分支return 1; 这个 1 是我们根据阶乘的定义写的，肯定是正确的，因此 factorial(1) 的实现是正确的，因此 factorial(2) 也正确，依此类推，最后 factorial(n) 也是正确的。
其实这就是在中学时学的数学归纳法，用数学归纳法来证明只需要证明两点：Base Case 正确，递推关系正确。写递归函数时一定要记得写 Base Case，否则即使递推关系正确，整个函数也不正确。如果 factorial 函数漏掉了 Base Case，那么会导致无限循环。
2.递归经典问题从上一节的一个关于求阶乘的简单例子的论述，我们可以了解到递归算法的精髓：要从功能上理解函数，同时你要相信你正在写的函数是正确的，在此基础上调用它，那么它就是正确的。 下面就从几个常见的算法题来看看如何理解递归，这是我的一些理解，欢迎大家提出更好的方法。
2.1）汉诺塔问题题： 汉诺塔问题是个常见问题，就是说有n个大小不等的盘子放在一个塔A上面，自底向上按照从大到小的顺序排列。要求将所有n个盘子搬到另一个塔C上面，可以借助一个塔B中转，但是要满足任何时刻大盘子不能放在小盘子上面。
解： 基本思想分三步，先把上面的 N-1 个盘子经 C 移到 B，然后将最底下的盘子移到 C，再将 B 上面的N-1个盘子经 A 移动到 C。总的时间复杂度 f(n)=2f(n-1)+1，所以 f(n)=2^n-1。
/** * 汉诺塔 */ void hano(char a, char b, char c, int n) { if (n <= 0) return; hano(a, c, b, n-1); move(a, c); hano(b, a, c, n-1);}
void move(char a, char b)
{
printf("%c->%c\n", a, b);
}
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