对数求和函数(Log-sum-exp function)：“soft max”函数：对于给定$a_i,b_i,i=1,...,k$，$g(x)=log(\sum_{i=1}^{k}e^{a_i^Tx+b_i})$。其光滑近似为$max_{i=1,...,k}(a_i^Tx+b_i)$。
那么为了证明凸函数，首先我们知道仿射函数均是凸函数，并且对于求和函数可以看成是$f(x)=log(\sum_{i=1}^{n}e^{x_i})$与$h(x)=a_i^Tx+b_i$的复合函数。因此只需要证明$f(x)$为凸函数即可。
$\nabla _i f(x)=\frac{e^{x_i}}{\sum_{l=1}{n}e^{x_l}}\\$
$\nabla_{ij}^{2}f(x)=\frac{e^{x_i}}{\sum_{l=1}{n}}1\{i=j\}-\frac{e^{x_i}e^{x_j}}{(\sum_{l=1}^{n}e^{x_l})^2}\\$
将上式重写为$\nabla^2f(x)=diag(z)-zz^T$,其中$z_i=e^{x_i}/(\sum_{l=1}^{n}e^{x_l})$。这是一个对角占优矩阵，因此是半正定矩阵，因此满足二阶性质。原式为凸函数得证。