第一行平方展开后，类似 \(sin\space x*cos\space x\) 的项积分后都为零，只留下了自身的平方项。如果将这些基除以它们的长度，那么我们就得到了一组标准正交基。
然后，用一组系数 \(A_0,A_1,B_1,A_2,\cdots\) 对这些基进行组合我们就可以得到 \(F(x)\)，此时再求长度我们就可以丢掉那些 \(\pi\) 和 \(2\pi\) 了。
函数有有限的长度如果这些系数都是有限的话，傅里叶级数给出了函数空间和有限维西尔伯特空间的一个完美匹配。
那给定一个函数，我们怎么知道它的傅里叶系数呢？
比如我们想知道 \(a_1\)，那么我们可以对上式两边同时乘以 \(cos\space x\)，然后在 \([0, 2\pi]\) 上进行积分。由于正交性，其余项的积分都变成了零，只留下了 \(a_1\) 对应的项。
同理，我们可以求得所有的系数。
在有限维情况下，如果我们拥有一组标准正交基，那么我们可以很容易地计算出系数，而傅里叶级数就像是一个有着无穷列的正交矩阵。
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