海森矩阵和半正定矩阵

日期：2021-09-30 栏目：程序人生浏览：次

多元函数的Hessian矩阵就类似一元函数的二阶导。

多元函数Hessian矩阵半正定就相当于一元函数二阶导非负，半负定就相当于一元函数二阶导非正。如果这个类比成立的话，凸函数的Hessian恒半正定就非常容易理解了——这是一元凸函数二阶导必非负的多元拓展。

至于为什么这个类是有道理的，你要这么看。对一元函数f(x)来说，就极值而言，一阶导为0是极值点的必要但不充分条件，一阶导为0切二阶导非负是极小值的充要条件。

为什么呢，因为有泰勒展开

$f(x)=f(x_0)+f\'(x_0)\cdot\text{d}x+\frac{1}{2}f\'\'(x_0)\text{d}x^2$

。如果一阶导为0，二阶导非负，dx不论是多少，f(x)一定不比f(x0)小。

你把多元函数也个泰勒展开，主要区别在于：
1) 二阶导变成了Hessian。
2) 以前只要考虑x怎么变，现在还要考虑y怎么变，x和y怎么一起变，头疼了很多。
以二元为例，

$f(\begin{bmatrix}x & y\end{bmatrix}) = f(\begin{bmatrix}x_0 & y_0\end{bmatrix}) + \begin{bmatrix}\text{d}x & \text{d}y\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}f_x\' \\ f_y\' \end{bmatrix} + \frac{1}{2} \begin{bmatrix}\text{d}x & \text{d}y\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}f_{xx}\' & f_{xy}\' \\ f_{yx}\' & f_{yy}\' \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}\text{d}x \\ \text{d}y\end{bmatrix}$