注： 字典学习也是一种数据降维的方法，这里我用到SVD的知识，对SVD不太理解的地方，可以看看这篇博客：《SVD（奇异值分解）小结 》。
1、字典学习思想字典学习的思想应该源来实际生活中的字典的概念。字典是前辈们学习总结的精华，当我们需要学习新的知识的时候，不必与先辈们一样去学习先辈们所有学习过的知识，我们可以参考先辈们给我们总结的字典，通过查阅这些字典，我们可以大致学会到这些知识。
为了将上述过程用准确的数学语言描述出来，我们需要将“总结字典”、“查阅字典”做出一个更为准确的描述。就从我们的常识出发：
我们通常会要求的我们的字典尽可能全面，也就是说总结出的字典不能漏下关键的知识点。
查字典的时候，我们想要我们查字典的过程尽可能简洁，迅速，准确。即，查字典要快、准、狠。
查到的结果，要尽可能地还原出原来知识。当然，如果要完全还原出来，那么这个字典和查字典的方法会变得非常复杂，所以我们只需要尽可能地还原出原知识点即可。
注： 以上内容，完全是自己的理解，如有不当之处，欢迎各位拍砖。
下面，我们要讨论的就是如何将上述问题抽象成一个数学问题，并解决这个问题。
2、字典学习数学模型 2.1 数学描述我们将上面的所提到的关键点用几个数学符号表示一下：
“以前的知识”，更专业一点，我们称之为原始样本，用矩阵\(\mathbf{Y}\)表示；
“字典”，我们称之为字典矩阵，用\(\mathbf{D}\)表示，“字典”中的词条，我们称之为原子（atom），用列向量\(\mathbf{d}_k\)表示；
“查字典的方法”，我们称为稀疏矩阵，用\(\mathbf{X}\)；
“查字典的过程”，我们可以用矩阵的乘法来表示，即\(\mathbf{DX}\)。
用数学语言描述，字典学习的主要思想是，利用包含\(K\)个原子\(\mathbf{d}_k\)的字典矩阵\(\mathbf{D}\in \mathbf{R}^{m \times K}\)，稀疏线性表示原始样本\(\mathbf{Y} \in \mathbf{R}^{m \times n}\)（其中\(m\)表示样本数，\(n\)表示样本的属性），即有\(\mathbf{Y=DX}\)（这只是我们理想的情况），其中\(\mathbf{X} \in \mathbf{R}^{K \times n}\)为稀疏矩阵，可以将上述问题用数学语言描述为如下优化问题
\[ \min_{\mathbf{D,\ X}}{\|\mathbf{Y}-\mathbf{DX}\|^2_F},\quad \text{s.t.}\ \forall i,\ \|\mathbf{x}_i\|_0 \le T_0 \tag{2-1} \]
或者
\[ \min_{\mathbf{D,\ X}}\sum_i\|\mathbf{x}_i\|_0, \quad \text{s.t.}\ \min_{\mathbf{D,\ X}}{\|\mathbf{Y}-\mathbf{DX}\|^2_F} \le \epsilon, \tag{2-2} \]
上式中\(\mathbf{X}\)为稀疏编码的矩阵，\(\mathbf{x}_i\,\ (i=1,2,\cdots,K)\)为该矩阵中的行向量，代表字典矩阵的系数。
注： \(\|\mathbf{x}_i\|_0\)表示零阶范数，它表示向量中不为0的数的个数。
2.2 求解问题式（2-1）的目标函数表示，我们要最小化查完的字典与原始样本的误差，即要尽可能还原出原始样本；它的限的制条件\(\|\mathbf{x}_i\|_0 \le T_0\)，表示查字典的方式要尽可能简单，即\(\mathbf{X}\)要尽可能稀疏。式（2-2）同理。
式（2-1）或式（2-2）是一个带有约束的优化问题，可以利用拉格朗日乘子法将其转化为无约束优化问题
\[ \min_{\mathbf{D,\ X}}{\|\mathbf{Y}-\mathbf{DX}\|^2_F}+\lambda\|\mathbf{x}_i\|_1 \tag{2-3} \]
注： 我们将\(\|\mathbf{x}_i\|_0\)用\(\|\mathbf{x}_i\|_1\)代替，主要是\(\|\mathbf{x}_i\|_1\)更加便于求解。
这里有两个优化变量\(\mathbf{D,\ X}\)，为解决这个优化问题，一般是固定其中一个优化变量，优化另一个变量，如此交替进行。式（2-3）中的稀疏矩阵\(\mathbf{X}\)可以利用已有经典算法求解，如Lasso（Least Absolute Shrinkage and Selection Operator）、OMP（Orthogonal Matching Pursuit），这里我重点讲述如何更新字典\(\mathbf{D}\)，对更新\(\mathbf{X}\)不多做讨论。
假设\(\mathbf{X}\)是已知的，我们逐列更新字典。下面我们仅更新字典的第\(k\)列，记\(\mathbf{d}_k\)为字典\(\mathbf{D}\)的第\(k\)列向量，记\(\mathbf{x}^k_T\)为稀疏矩阵\(\mathbf{X}\)的第\(k\)行向量，那么对式（2-1），我们有