五大经典算法之回溯法

  回溯法，又称为试探法，按选优条件向前不断搜索，以达到目标。但是当探索到某一步时，如果发现原先选择并不优或达不到目标，就会退回一步重新选择，这种达不到目的就退回再走的算法称为回溯法。

与穷举法的区别和联系：

相同点：它们都是基于试探的。

区别：穷举法要将一个解的各个部分全部生成后，才检查是否满足条件，若不满足，则直接放弃该完整解，然后再尝试另一个可能的完整解，它并没有沿着一个可能的完整解的各个部分逐步回退生成解的过程。而对于回溯法，一个解的各个部分是逐步生成的，当发现当前生成的某部分不满足约束条件时，就放弃该步所做的工作，退到上一步进行新的尝试，而不是放弃整个解重来。

二、基本思想

  对于可以使用回溯法来解决的问题，首先可以将其解空间可以看成一棵解空间树。在回溯法中，每次扩大当前部分解时，都面临一个可选的状态集合（所有的子树），每个树结点代表一个可能的部分解。

  回溯法对任一解的生成，一般都采用逐步扩大解的方式。每前进一步，都试图在当前部分解的基础上扩大该部分解。它在问题的状态空间树中，从开始结点（根结点）出发，以深度优先搜索整个状态空间。这个开始结点成为活结点，同时也成为当前的扩展结点。在当前扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点成为新的活结点，并成为当前扩展结点。如果在当前扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。此时，应往回移动（回溯）至最近的活结点处，并使这个活结点成为当前扩展结点。回溯法以这种工作方式递归地在状态空间中搜索，直到找到所要求的解或解空间中已无活结点时为止。

三、解题步骤(思路)

针对给定的问题，定义问题的解空间；

确定易于搜索的解空间结构；

以深度优先方式搜索解空间，并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。（这里的剪枝函数就是判断该结点是否满足问题题设，如果满足则向下搜索，不满足则在此剪枝）

四、算法框架

1. 递归实现：

 变量解释：

  x：存储试探解的数组

  n：解空间树的层数

  i：搜索目前所达到的层数

  start：子节点解空间的最小值

  end：子节点解空间的最大值

int x[n]; void backtrack (int i) { if (i > n) { 回溯结束； } else { // 这里回溯子节点的解空间为start~end for (j = start; j <= end; j++) { // 满足条件，向下搜索 if (j满足题设条件) { x[i] = j; backtrack(i+1); // 不满足条件，在此剪枝（即回溯） } else { } } } }

 2. 非递归实现：

 变量解释：

  x：存储试探解的数组

  n：解空间树的层数

  i：搜索目前所达到的层数

  start：子节点解空间的最小值

  end：子节点解空间的最大值

void f_backtrack(int i) { //初始化解向量 for (int j = 0; j < n; j++) { x[j] = 1; } while (i >= 1) { while (x[i] <= n) { if (place(i)) { if (i == n) { 回溯结束； break; // 满足条件，向下搜索 } else { i++; x[i] = 1; } // 不满足条件，在此剪枝（即回溯） } else { x[i]++; } } //遍历完子节点解空间后，向上剪枝（即回溯） x[i] = 1; i--; x[i]++; } }

相比之下，递归设计方法比较简单，而非递归方法，也就是循环方法设计细节比较多，但如果掌握了其特点，对不同问题的适用性很强（即代码只需要很少的修改就可以应用到不同问题），加之其最大的优势：效率更高（因为递归的实现是通过调用函数本身，函数调用的时候，每次调用时要做地址保存，参数传递等，这是通过一个递归工作栈实现的。具体是每次调用函数本身要保存的内容包括：局部变量、形参、调用函数地址、返回值。那么，如果递归调用N次，就要分配N局部变量、N形参、N调用函数地址、N返回值。这势必是影响效率的。）

五、经典实现

经典问题：八皇后问题

  八皇后问题，是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型例题。该问题是十九世纪著名的数学家高斯1850年提出：

  在8X8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上（斜率为1），问有多少种摆法。高斯认为有76种方案。1854年在柏林的象棋杂志上不同的作者发表了40种不同的解，后来有人用图论的方法解出92种结果。