四个基本子空间 (2)

显然，在A矩阵里有三个列向量\(\overrightarrow{r_1}, \overrightarrow{r_2}, \overrightarrow{r_3}\)，它们分别是\[ \overrightarrow{r_1}= \begin{equation} \left[ \begin{matrix} 2\\ 3 \end{matrix} \right] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \overrightarrow{r_2}=\left[ \begin{matrix} 4\\ 1 \end{matrix} \right] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \overrightarrow{r_3}=\left[ \begin{matrix} 1\\ 2 \end{matrix} \right] \end{equation}\]
它们线性无关，所以\(\overrightarrow{r_1}, \overrightarrow{r_2}, \overrightarrow{r_3}\)可以作为行空间中的一组基，张成了A的列空间，\(C(A)\)中的任意一个向量都可以表示为\[ λ_1*\left[ \begin{matrix} 2\\ 3 \end{matrix} \right]+ λ_2*\left[ \begin{matrix} 4\\ 1 \end{matrix} \right]+ λ_3*\left[ \begin{matrix} 1\\ 2 \end{matrix} \right]，其中λ_1、λ_2、λ_3是任意实数 \]
我们已经求得了A的列空间\(R(A)\)。

这里的行空间与列空间刚好由矩阵A的每行每列表示是因为我选的矩阵恰好是行满秩与列满秩，行空间由行向量组成的极大线性无关组表示，同理，列空间由列向量组成的极大线性无关组表示

求解零空间

那就是求解\[ \begin{equation} \left[ \begin{matrix} 2 & 4 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \end{equation}\]
使用高斯消元等到A矩阵的行最简形\[ U=\begin{equation} \left[ \begin{matrix} -1 & -3 & 1 \\ 0 & 10 & -1 \end{matrix} \right] \end{equation} \]
可以得到解的集合为\[ x=k \begin{equation} \left[ \begin{matrix} 14 \\ -1 \\ 10 \end{matrix} \right] \end{equation} \]

求解左零空间

将矩阵A转置有\[ A^{\mathrm{T}}= \begin{equation} \left[ \begin{matrix} 2 & 3 \\ 4 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right] \end{equation} \]
求解\[ \begin{equation} \left[ \begin{matrix} 2 & 3 \\ 4 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \end{equation}\]
以我多年的做题经验（笑），这个应该只有零解。

总结

四个空间都求出来了，加加它们的维度也是满足之前给出的子空间的性质，不同空间对应的基包含的向量也是相互正交的。