四个基本子空间

矩阵A一共对应着4个基本子空间,分别是列空间、行空间、零空间以及左零空间

行空间

设一m行n列实元素矩阵为\(A\)(mxn),则其行空间(Row Space)是由矩阵A的所有行向量所生成的\(R^n\)上的子空间,记作\(C(A^{\mathrm{T}})\)\(R(A)\)。其中,矩阵\(A^{\mathrm{T}}\)是矩阵A的转置。

矩阵A的行空间中的所有向量均为矩阵A的行向量的某种线性组合,都为\(R^n\)上的向量(即n维向量)。

矩阵A对应的行空间维度等于矩阵A的行秩,最大为min(m,n)。即:

dim \(C(A^{\mathrm{T}})\) = dim \(R(A)\) = rank(\(A^{\mathrm{T}}\)) ≤ min(m,n)

行空间\(C(A^{\mathrm{T}})\)的一组自然基底是矩阵A的行向量的最大线性无关组。

列空间

既然行空间是矩阵A所有行向量的线性组合,那么可以想到A对应的列空间应该是所有列向量的线性组合。

设一m行n列实元素矩阵为\(A\)(mxn),则其行空间(Col Space)是由矩阵A的所有列向量生成的\(R^m\)上的子空间,记作\(C(A)\)

矩阵A的列空间\(C(A)\)中的所有向量均为矩阵A中列向量的某种线性组合,都为\(R^m\)上的向量(即m维向量)。

\(C(A)\)的维度等于矩阵A的列秩,最大为min(m,n)。即:

dim \(C(A)\) = rank(\(A\)) ≤ min(m,n)

列空间\(C(A)\)的一组自然基底是矩阵A的列向量的最大线性无关组。

零空间

在数学中,一个矩阵A的零空间是方程\(Ax = 0\)的所有解\(x\)的集合。它也叫做A的核, 核空间,记为\(Null(A)\)

想像一下,方程\(Ax = 0\)的解通常有哪种可能?我想大概分为两种可能:

\(Null(A)\)仅有零解

\(Null(A)\)包含零解和无穷多个非零解

所以,不管怎么样,\(Null(A)\)都至少包含零向量

左零空间

与零空间类似,只不过A的左零空间是方程\(A^{\mathrm{T}}x = 0\)的所有解\(x\)的集合。记为\(Null(A^{\mathrm{T}})\)

同样的,解集同样至少包含零解

四个基本子空间的性质

对于一个mxn矩阵\(A\)来说:

行空间与零空间正交

列空间与左零空间正交

dim \(R(A)\) + dim \(Null(A)\) = m,即行空间的维度+零空间的维度=行数

dim \(C(A)\) + dim \(Null(A^{\mathrm{T}})\) = n,即列空间的维度+左零空间的维度=列数

性质证明

要证明两个子空间正交,先来给定子空间正交的定义是什么:若(内积空间)的子空间A和B满足一者中的每个向量都与另一者正交,那么它们互为正交子空间。其中内积空间是添加了内积运算的向量空间。

好吧,反正就是证明矩阵A对应的行空间中的每个向量都与零空间中每个向量正交即可。有mxn矩阵\(A\),将它写为下面这个形式:\[ \left[ \begin{matrix} row & 1 & of & A \\ row & 2 & of & A \\ row & 3 & of & A \\ &\ .\\ &\ . \\ &\ . \\ row & m & of & A \end{matrix} \right] \]
我们要求\(Ax = 0\),让我们用上面这种形式写一遍:\[ \begin{equation} \left[ \begin{matrix} row & 1 & of & A \\ row & 2 & of & A \\ row & 3 & of & A \\ &\ .\\ &\ . \\ &\ . \\ row & m & of & A \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ .\\ .\\ .\\ x_n \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 0\\ 0\\ 0\\ .\\ .\\ .\\ 0 \end{matrix} \right] \end{equation} \]
所以,如果有一个向量\(v\)属于\(Null(A)\),显然,将\(v\)带入(1)式是成立的。所以A中的每一行,即每个行向量都与向量\(v\)都正交。而A的行空间是行向量们的线性组合,所以\(v\)与A的行空间是正交的。同理,对于\(Null(A)\)中的其他向量,也和\(v\)一样与A的行空间是正交。因此,足以证明A行空间与零空间正交。

同样的,可以证明A的列空间与左零空间正交,这里不再赘述。

举例

好吧,举个实际的例子,这样以后看到也能马上想起来,哦,确实是这样。
给出一个3x2的矩阵\[A= \left[ \begin{matrix} 2 & 4 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{matrix} \right]\]
这个矩阵是我胡编的,让我们分别求一下A对应的行空间、列空间、零空间以及左零空间

求解行空间

显然,在A矩阵里有两个行向量\(\overrightarrow{r_1}, \overrightarrow{r_2}\),它们分别是\[ \overrightarrow{r_1}=\left[ \begin{matrix} 2\\ 4\\ 1 \end{matrix} \right] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \overrightarrow{r_2}=\left[ \begin{matrix} 3\\ 1\\ 2 \end{matrix} \right] \]
它们线性无关,所以\(\overrightarrow{r_1}, \overrightarrow{r_2}\)可以作为行空间中的一组基。它俩张成了A的行空间,\(R(A)\)中的任意一个向量都可以表示为\[ \begin{equation} λ_1*\left[ \begin{matrix} 2\\ 4\\ 1 \end{matrix} \right]+ λ_2*\left[ \begin{matrix} 3\\ 1\\ 2 \end{matrix} \right],其中λ_1、λ_2是任意实数 \end{equation} \]
我们已经求得了A的行空间\(R(A)\)

求解列空间

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