有趣的两道数论题——2017华杯初赛小高组

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有趣的两道数论题——2017华杯初赛小高组

 

5.从1—20这20个整数中任意取11个数,其中必有两个数的和等于() A. 19    B.20    C.21    D.22

答案:C

解析:

最小的11个数是1~11,当中最大的两个数之和是21,最大的11个数是10~20,当中最小的两个数之和是21,即可确定答案。

9.在一个自然数的所有因数中,能被3整除的因数比奇因数多5个,那么这个自然数最小是_____

答案:72

解析:考虑对这个自然数做质因数分解,分析其质因数及其个数,进而计算出这个自然数。

较小的质数有2,3,5,7,11...既然存在被3整除的因数,那么这个自然数里一定有3作为质因数,然后尝试枚举能被3整除的因数,从小到大依次是2*3=6,3*3=9,2*2*3=12,2*3*3=18,2*2*2*3=24,2*2*3*3=36,至此已满足条件,由此得到的自然数是2*2*2*3*3=72,如果考虑到72也是其自己的因数,那么1也是72的因数,仍然满足能被3整除的因数比奇因数多5个的条件,问题得解。

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