三个步骤都写出来了，直接看代码
public static int uniquePaths(int m, int n) { if (m <= 0 || n <= 0) { return 0; } int[][] dp = new int[m][n]; // // 初始化 for(int i = 0; i < m; i++){ dp[i][0] = 1; } for(int i = 0; i < n; i++){ dp[0][i] = 1; } // 推导出 dp[m-1][n-1] for (int i = 1; i < m; i++) { for (int j = 1; j < n; j++) { dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]; } } return dp[m-1][n-1]; }O(n*m) 的空间复杂度可以优化成 O(min(n, m)) 的空间复杂度的，不过这里先不讲
案例三、二维数组 DP写到这里，有点累了，，但还是得写下去，所以看的小伙伴，你们可得继续看呀。下面这道题也不难，比上面的难一丢丢，不过也是非常类似
问题描述给定一个包含非负整数的 m x n 网格，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。
说明：每次只能向下或者向右移动一步。
举例： 输入: arr = [ [1,3,1], [1,5,1], [4,2,1] ] 输出: 7 解释: 因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。和上面的差不多，不过是算最优路径和，这是 leetcode 的第64题：https://leetcode-cn.com/problems/minimum-path-sum/
还是老样子，可能有些人都看烦了，哈哈，但我还是要按照步骤来写，让那些不大懂的加深理解。有人可能觉得，这些题太简单了吧，别慌，小白先入门，这些属于 medium 级别的，后面在给几道 hard 级别的。
步骤一、定义数组元素的含义由于我们的目的是从左上角到右下角，最小路径和是多少，那我们就定义 dp[i] [j]的含义为：当机器人从左上角走到(i, j) 这个位置时，最下的路径和是 dp[i] [j]。那么，dp[m-1] [n-1] 就是我们要的答案了。
注意，这个网格相当于一个二维数组，数组是从下标为 0 开始算起的，所以 由下角的位置是 (m-1, n - 1)，所以 dp[m-1] [n-1] 就是我们要走的答案。
步骤二：找出关系数组元素间的关系式想象以下，机器人要怎么样才能到达 (i, j) 这个位置？由于机器人可以向下走或者向右走，所以有两种方式到达
一种是从 (i-1, j) 这个位置走一步到达
一种是从(i, j - 1) 这个位置走一步到达
不过这次不是计算所有可能路径，而是计算哪一个路径和是最小的，那么我们要从这两种方式中，选择一种，使得dp[i] [j] 的值是最小的，显然有
dp[i] [j] = min(dp[i-1][j]，dp[i][j-1]) + arr[i][j];// arr[i][j] 表示网格种的值 步骤三、找出初始值显然，当 dp[i] [j] 中，如果 i 或者 j 有一个为 0，那么还能使用关系式吗？答是不能的，因为这个时候把 i - 1 或者 j - 1，就变成负数了，数组就会出问题了，所以我们的初始值是计算出所有的 dp[0] [0….n-1] 和所有的 dp[0….m-1] [0]。这个还是非常容易计算的，相当于计算机图中的最上面一行和左边一列。因此初始值如下：
dp[0] [j] = arr[0] [j] + dp[0] [j-1]; // 相当于最上面一行，机器人只能一直往左走
dp[i] [0] = arr[i] [0] + dp[i] [0]; // 相当于最左面一列，机器人只能一直往下走
代码如下 public static int uniquePaths(int[][] arr) { int m = arr.length; int n = arr[0].length; if (m <= 0 || n <= 0) { return 0; } int[][] dp = new int[m][n]; // // 初始化 dp[0][0] = arr[0][0]; // 初始化最左边的列 for(int i = 1; i < m; i++){ dp[i][0] = dp[i-1][0] + arr[i][0]; } // 初始化最上边的行 for(int i = 1; i < n; i++){ dp[0][i] = dp[0][i-1] + arr[0][i]; } // 推导出 dp[m-1][n-1] for (int i = 1; i < m; i++) { for (int j = 1; j < n; j++) { dp[i][j] = Math.min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + arr[i][j]; } } return dp[m-1][n-1]; }O(n*m) 的空间复杂度可以优化成 O(min(n, m)) 的空间复杂度的，不过这里先不讲
案例 4：编辑距离这次给的这道题比上面的难一些，在 leetcdoe 的定位是 hard 级别。好像是 leetcode 的第 72 号题。
问题描述
给定两个单词 word1 和 word2，计算出将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。
你可以对一个单词进行如下三种操作：
插入一个字符
删除一个字符
替换一个字符
解答