【算法】滑动窗口三步走 (5)

【算法】滑动窗口三步走

然后我们通过左右指针来维护一个滑动窗口,同时计算窗口内的值是否是目标值:

【算法】滑动窗口三步走

如果窗口的值过小,我们就移动右边界。

【算法】滑动窗口三步走

如果窗口的值过大,我们就移动左边界。

【算法】滑动窗口三步走

剩下的就是反复上面的操作就可以了。到这里分析过程看似结束了。但是我们可以观察出一丢丢规律,用来优化我们的算法。对于任意一个正整数,总是小于它的中值与中值+1的和。为了让大家直观,用下图举例:

【算法】滑动窗口三步走

比如这里的100,就一定小于50+51,换成其他数也一样。换句话说,一旦窗口左边界超过中值,窗口内的和一定会大于 target。

根据分析,得到题解:

同时也给一个java版本的:

//java class Solution { public int[][] findContinuousSequence(int target) { List<int[]> res = new ArrayList<>(); int i = 1; int j = 1; int win = 0; while (i <= target / 2) { if (win < target) { win += j; j++; } else if (win > target) { win -= i; i++; } else { int[] arr = new int[j-i]; for (int k = i; k < j; k++) { arr[k-i] = k; } res.add(arr); win -= i; i++; } } return res.toArray(new int[res.size()][]); } } 答案2 什么是滑动窗口

滑动窗口可以看成数组中框起来的一个部分。在一些数组类题目中,我们可以用滑动窗口来观察可能的候选结果。当滑动窗口从数组的左边滑到了右边,我们就可以从所有的候选结果中找到最优的结果。

对于这道题来说,数组就是正整数序列 \([1, 2, 3, \dots, n]\)。我们设滑动窗口的左边界为 i,右边界为 j,则滑动窗口框起来的是一个左闭右开区间 \([i, j)\)。注意,为了编程的方便,滑动窗口一般表示成一个左闭右开区间。在一开始,\(i=1, j=1\),滑动窗口位于序列的最左侧,窗口大小为零。

【算法】滑动窗口三步走

滑动窗口的重要性质是:窗口的左边界和右边界永远只能向右移动,而不能向左移动。这是为了保证滑动窗口的时间复杂度是 \(O(n)\)。如果左右边界向左移动的话,这叫做“回溯”,算法的时间复杂度就可能不止 \(O(n)\)

在这道题中,我们关注的是滑动窗口中所有数的和。当滑动窗口的右边界向右移动时,也就是 j = j + 1,窗口中多了一个数字 j,窗口的和也就要加上 j。当滑动窗口的左边界向右移动时,也就是 i = i + 1,窗口中少了一个数字 i,窗口的和也就要减去 i。滑动窗口只有 右边界向右移动(扩大窗口)左边界向右移动(缩小窗口) 两个操作,所以实际上非常简单。

如何用滑动窗口解这道题

要用滑动窗口解这道题,我们要回答两个问题:

第一个问题,窗口何时扩大,何时缩小?

第二个问题,滑动窗口能找到全部的解吗?

对于第一个问题,回答非常简单:

当窗口的和小于 target 的时候,窗口的和需要增加,所以要扩大窗口,窗口的右边界向右移动

当窗口的和大于 target 的时候,窗口的和需要减少,所以要缩小窗口,窗口的左边界向右移动

当窗口的和恰好等于 target 的时候,我们需要记录此时的结果。设此时的窗口为 \([i, j)\),那么我们已经找到了一个 i 开头的序列,也是唯一一个 i 开头的序列,接下来需要找 i+1 开头的序列,所以窗口的左边界要向右移动

对于第二个问题,我们可以稍微简单地证明一下:

【算法】滑动窗口三步走

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