【算法】滑动窗口三步走

对于大部分滑动窗口类型的题目,一般是考察字符串的匹配。比较标准的题目,会给出一个模式串B,以及一个目标串A。然后提出问题,找到A中符合对B一些限定规则的子串或者对A一些限定规则的结果,最终再将搜索出的子串完成题意中要求的组合或者其他

比如:给定一个字符串 s 和一个非空字符串 p,找到 s 中所有是 p 的字母异位词的子串,返回这些子串的起始索引。

又或者:给你一个字符串 S、一个字符串 T,请在字符串 S 里面找出:包含 T 所有字母的最小子串。

再如:给定一个字符串 s 和一些长度相同的单词 words。找出 s 中恰好可以由 words 中所有单词串联形成的子串的起始位置。

都是属于这一类的标准题型。而对于这一类题目,我们常用的解题思路,是去维护一个可变长度的滑动窗口。无论是使用双指针,还是使用双端队列,又或者用游标等其他奇技淫巧,目的都是一样的。滑动窗口的原理都是一致的,只不过改变了实现方法而已。

简介

学过计算机网络的同学,都知道滑动窗口协议(Sliding Window Protocol),该协议是 TCP协议 的一种应用,用于网络数据传输时的流量控制,以避免拥塞的发生。该协议允许发送方在停止并等待确认前发送多个数据分组。由于发送方不必每发一个分组就停下来等待确认。因此该协议可以加速数据的传输,提高网络吞吐量。

滑动窗口算法其实和这个是一样的,只是用的地方场景不一样,可以根据需要调整窗口的大小,有时也可以是固定窗口大小。

滑动窗口算法(Sliding Window Algorithm)

Sliding window algorithm is used to perform required operation on specific window size of given large buffer or array.
滑动窗口算法是在给定特定窗口大小的数组或字符串上执行要求的操作。
This technique shows how a nested for loop in few problems can be converted to single for loop and hence reducing the time complexity.
该技术可以将一部分问题中的嵌套循环转变为一个单循环,因此它可以减少时间复杂度。

简而言之,滑动窗口算法在一个特定大小的字符串或数组上进行操作,而不在整个字符串和数组上操作,这样就降低了问题的复杂度,从而也达到降低了循环的嵌套深度。其实这里就可以看出来滑动窗口主要应用在数组和字符串上。

基本示例

如下图所示,设定滑动窗口(window)大小为 3,当滑动窗口每次划过数组时,计算当前滑动窗口中元素的和,得到结果 res。

【算法】滑动窗口三步走

可以用来解决一些查找满足一定条件的连续区间的性质(长度等)的问题。由于区间连续,因此当区间发生变化时,可以通过旧有的计算结果对搜索空间进行剪枝,这样便减少了重复计算,降低了时间复杂度。往往类似于“ 请找到满足 xx 的最 x 的区间(子串、子数组)的 xx ”这类问题都可以使用该方法进行解决。

需要注意的是,滑动窗口算法更多的是一种思想,而非某种数据结构的使用。

什么是滑动窗口

滑动窗口可以看成数组中框起来的一个部分。在一些数组类题目中,我们可以用滑动窗口来观察可能的候选结果。当滑动窗口从数组的左边滑到了右边,我们就可以从所有的候选结果中找到最优的结果。

对于这道题来说,数组就是正整数序列 \([1, 2, 3, \dots, n]\)。我们设滑动窗口的左边界为 i,右边界为 j,则滑动窗口框起来的是一个左闭右开区间 \([i, j)\)。注意,为了编程的方便,滑动窗口一般表示成一个左闭右开区间。在一开始,\(i=1, j=1\),滑动窗口位于序列的最左侧,窗口大小为零。

【算法】滑动窗口三步走

滑动窗口的重要性质是:窗口的左边界和右边界永远只能向右移动,而不能向左移动。这是为了保证滑动窗口的时间复杂度是 \(O(n)\)。如果左右边界向左移动的话,这叫做“回溯”,算法的时间复杂度就可能不止 \(O(n)\)

在这道题中,我们关注的是滑动窗口中所有数的和。当滑动窗口的右边界向右移动时,也就是 j = j + 1,窗口中多了一个数字 j,窗口的和也就要加上 j。当滑动窗口的左边界向右移动时,也就是 i = i + 1,窗口中少了一个数字 i,窗口的和也就要减去 i。滑动窗口只有 右边界向右移动(扩大窗口)左边界向右移动(缩小窗口) 两个操作,所以实际上非常简单。

如何用滑动窗口解这道题

要用滑动窗口解这道题,我们要回答两个问题:

第一个问题,窗口何时扩大,何时缩小?

第二个问题,滑动窗口能找到全部的解吗?

对于第一个问题,回答非常简单:

当窗口的和小于 target 的时候,窗口的和需要增加,所以要扩大窗口,窗口的右边界向右移动

当窗口的和大于 target 的时候,窗口的和需要减少,所以要缩小窗口,窗口的左边界向右移动

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