我们单独看 cal() 函数。假设 5-8行的 只是一个普通的操作，那第 4 行的时间复杂度就是，T1(n) = O(n)。但 5-8 函数本身不是一个简单的操作，它的时间复杂度是 T2(n) = O(n)，所以，整个 cal() 函数的时间复杂度就是，$$T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O(n^2)$$。
几种常见时间复杂度实例虽然代码千差万别，但是常见的复杂度量级并不多。老弟稍微总结了一下，这些复杂度量级几乎涵盖了今后可以接触的所有代码的复杂度量级。
划重点了同学们。
常量阶 $O(1)$
对数阶 $O(logn)$
线性阶 $O(n)$
线性对数阶 $O(nlogn)$
平方阶 O(n^2^)、立方阶 O(n^3^)…..k 次方阶 O(n^k^)
指数阶 O(2^n^)
阶乘阶 O(n!)
对于刚罗列的复杂度量级，我们可以粗略地分为两类，多项式量级和非多项式量级。其中，非多项式量级只有两个：$$O(2^n) $$和 O(n!)。
当数据规模 n 越来越大时，非多项式量级算法的执行时间会急剧增加，求解问题的执行时间会无限增长。所以，非多项式时间复杂度的算法其实是非常低效的算法。因此，关于 NP 时间复杂度我就不展开讲了。
我们主要来看几种常见的多项式时间复杂度。
1. O(1) 之一击必杀
首先我们必须明确一个概念，O(1) 只是常量级时间复杂度的一种表示方法，并不是指只执行了一行代码。比如这段代码，即便有 3 行，它的时间复杂度也是 O(1），而不是 O(3)。
int a = 1; int b = 2; int c = 3;我们的 HashMap get()、put() 其实就是 O(1) 时间复杂度。
只要代码的执行时间不随 n 的增大而增长，这样代码的时间复杂度我们都记作 O(1)。或者说，一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是Ο(1)。
2. O(logn)、O(nlogn)
对数阶时间复杂度非常常见，同时也是最难分析的一种时间复杂度。
i=1; while (i <= n) { i = i * 2; }根据我们前面讲的复杂度分析方法，第三行代码是循环执行次数最多的。所以，我们只要能计算出这行代码被执行了多少次，就能知道整段代码的时间复杂度。
从代码中可以看出，变量 i 的值从 1 开始取，每循环一次就乘以 2。当大于 n 时，循环结束。还记得我们高中学过的等比数列吗？实际上，变量 i 的取值就是一个等比数列。如果我把它一个一个列出来，就应该是这个样子的：
$$2^0 2^1 2^2 ……..2^x = n$$
所以，我们只要知道 x 值是多少，就知道这行代码执行的次数了。通过 2^x^=n 求解 x 这个问题我们想高中应该就学过了，我就不多说了。x=log~2~n，所以，这段代码的时间复杂度就是 O(log~2~n)。
我把代码稍微改下，这段代码的时间复杂度是多少？
i=1; while (i <= n) { i = i * 3; }很简单就能看出来，这段代码的时间复杂度为 O(log~3~n)。
实际上，不管是以 2 为底、以 3 为底，还是以 10 为底，我们可以把所有对数阶的时间复杂度都记为 O(logn)。为什么呢？
我们知道，对数之间是可以互相转换的，log3n 就等于 log~3~2 * log~2~n，所以 O(log~3~n) = O(C * log~2~n)，其中 C=log~3~2 是一个常量。基于我们前面的一个理论：在采用大 O 标记复杂度的时候，可以忽略系数，即 O(Cf(n)) = O(f(n))。所以，O(log~2~n) 就等于 O(log~3~n)。因此，在对数阶时间复杂度的表示方法里，我们忽略对数的“底”，统一表示为 O(logn)。
如果你理解了我前面讲的 O(logn)，那 O(nlogn) 就很容易理解了。还记得我们刚讲的乘法法则吗？如果一段代码的时间复杂度是 O(logn)，我们循环执行 n 遍，时间复杂度就是 O(nlogn) 了。而且，O(nlogn) 也是一种非常常见的算法时间复杂度。比如，归并排序、快速排序的时间复杂度都是 O(nlogn)。
如下所示就是$O(nlogN)$ , 内部 while循环是 O(logn) ,被外层 for 循环包起来。所以 就是 O(nlogn)
for(m = 1; m < n; m++) { i = 1; while(i < n) { i = i * 2; } }3. O(m+n)、O(m*n)
我们再来讲一种跟前面都不一样的时间复杂度，代码的复杂度由两个数据的规模来决定。
int cal(int m, int n) { int sum_1 = 0; int i = 1; for (; i < m; ++i) { sum_1 = sum_1 + i; } int sum_2 = 0; int j = 1; for (; j < n; ++j) { sum_2 = sum_2 + j; } return sum_1 + sum_2; }从代码中可以看出，m 和 n 是表示两个数据规模。我们无法事先评估 m 和 n 谁的量级大，所以我们在表示复杂度的时候，就不能简单地利用加法法则，省略掉其中一个。所以，上面代码的时间复杂度就是 O(m+n)。
针对这种情况，原来的加法法则就不正确了，我们需要将加法规则改为：T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。但是乘法法则继续有效：T1(m)T2(n) = O(f(m) f(n))。
4.线性阶O(n)
看这段代码会执行多少次呢？
for(i=1; i<=n; i++) { j = i; j++; }第1行会执行 n 次，第2行和第3行会分别执行n次，总的执行时间也就是 3n + 1 次，那它的时间复杂度表示是 O(3n + 1) 吗？ No !
还是那句话：“大O符号表示法并不是用于来真实代表算法的执行时间的，它是用来表示代码执行时间的增长变化趋势的”。
所以它的时间复杂度其实是O(n);
平方阶O(n²)
for(x=1; i <= n; x++){ for(i = 1; i <= n; i++) { j = i; j++; } }把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍，它的时间复杂度就是 O(n²) 了。
立方阶O(n³)、K次方阶O(n^k^)
参考上面的O(n²) 去理解就好了，O(n³)相当于三层n循环，其它的类似。
空复杂度分析理解了前面讲的内容，空间复杂度分析方法学起来就非常简单了。