在文章数据结构入门（一）栈的实现中，我们已经知道了如何去实现“栈”这个数据结构，并且介绍了一个它的应用：数的进制转换。在本文中，将会介绍栈的第二个应用，也就是栈在数学表达式求值中的应用。
我们分以下几步对数学表达式进行求值。
栈的实现；
中缀表达式转后缀表达式；
后缀表达式求值。
先不着急明白上述术语，你看下去就会明白了。
栈的实现以下是栈的Python实现（Stack.py），代码如下：
# -*- coding: utf-8 -*- class Empty(Exception): # Error attempting to access an element from an empty container pass class Stack: # initialize def __init__(self): self.__data = [] # length of Stack def __len__(self): return len(self.__data) # whether the Stack is empty def is_empty(self): return len(self.__data) == 0 # push an element is Stack def push(self, e): self.__data.append(e) # top element of Stack def top(self): if self.is_empty(): raise Empty('Stack is empty') return self.__data[-1] # remove the top element of Stack def pop(self): if self.is_empty(): raise Empty('Stack is empty') return self.__data.pop() # clear the Stack def clear(self): while not self.is_empty(): self.pop() 中缀表达式转后缀表达式 首先，我们来看一下数学表达式的三种形式：前缀表达式，中缀表达式，后缀表达式。
中缀表达式（Infix Expression）就是我们平时常用的书写方式，带有括号。前缀表达式（Prefix Expression）要求运算符出现在运算数字的前面，后缀表达式（Postfix Expression）要求运算符出现在运算数字的后面，一般这两种表达式不出现括号。示例如下：
A + B * C + D + + A * B C D A B C * + D +
(A + B) * (C + D) * + A B + C D A B + C D + *
A * B + C * D + * A B * C D A B * C D * +
A + B + C + D + + + A B C D A B + C + D +
一般在计算机中，为了方便对表达式求值，我们需要将熟悉的中缀表达式转化为后缀表达式。
中缀表达式转后缀表达式的算法如下：
创建一个空栈opstack，用于储存运算符。创建一个空的列表，用于储存输出结果。
将输入的中缀表达式（字符串形式）用字符串的split方法转化为一个列表。
从左到右对该列表进行遍历操作（元素为token），如下：
如果token为运算数，则将它添加（append）至输出列表中。
如果token为左小括号，则将它压入（psuh）到opstack中。
如果token是右小括号，则对opstack进行pop操作，直至对应的左小括号被移出。将移出的运算符添加（append）到输出列表的末端。
如果token是 *, /, +, -, 中的一个，则将其压入（push）到opstack中。注意，先要移除那些运算优先级大于等于该token的运算符，并将它们添加到输出列表中。
当上述过程结果后，检查opstack。任何还在opstack中的运算符都应移除，并将移出的运算符添加（append）到输出列表的末端。
上述过程的完整Python代码如下：
# -*- coding: utf-8 -*- from Stack import Stack # 中缀表达式转化为后缀表达式 def infixToPostfix(infixexpr): prec = {"*": 3, "http://www.likecs.com/": 3, "+": 2, "-": 2, "(": 1} opStack = Stack() postfixList = [] tokenList = infixexpr.split() for token in tokenList: if token.isdigit() or '.' in token: postfixList.append(token) elif token == '(': opStack.push(token) elif token == ')': topToken = opStack.pop() while topToken != '(': postfixList.append(topToken) topToken = opStack.pop() else: while (not opStack.is_empty()) and (prec[opStack.top()] >= prec[token]): postfixList.append(opStack.pop()) opStack.push(token) while not opStack.is_empty(): postfixList.append(opStack.pop()) return " ".join(postfixList) # inExpr = "( ( 1 + 2 ) * 3 ) * ( 3 - 1.2 )" inExpr = "10 + 3 * 5 / ( 16 - 4 )" postExpr = infixToPostfix(inExpr) print(postExpr)输出结果如下：
10 3 5 * 16 4 - / + 后缀表达式求值当把中缀表达式转化为后缀表达式之后，我们再利用栈对后缀表达式求值。其具体的算法如下：
建立一个栈来存储待计算的运算数；
遍历字符串，遇到运算数则压入栈中，遇到运算符则出栈运算数(2次)，进行相应的计算，计算结果是新的操作数，压入栈中，等待计算；
按上述过程，遍历完整个表达式，栈中只剩下最终结果；
完整的Python代码如下：(接以上代码)
# -*- coding: utf-8 -*- from Stack import Stack # 两个数的运算, 除法时分母不为0 def operate(op, num1, num2): if num2 == 0: raise ZeroDivisionError else: res = { '+': num1 + num2, '-': num1 - num2, '*': num1 * num2, 'http://www.likecs.com/': num1 / num2, } return res[op] # 将字符串转化为浮点型或整型数字 def str2num(s): if '.' in s: return float(s) else: return int(s) # 后缀表达式求值 def evalPostfix(e): tokens = e.split() # 后缀表达式转化为列表 s = Stack() for token in tokens: if token.isdigit() or '.' in token: # 如果当前元素是数字 s.push(str2num(token)) elif token in '+-*/': # 如果当前元素是运算符 op2 = s.pop() op1 = s.pop() s.push(operate(token, op1, op2)) # 计算结果入栈 return s.pop() # inExpr = "( ( 1 + 2 ) * 3 ) * ( 3 - 1.2 )" inExpr = "10 + 3 * 5 / ( 16 - 4 )" postExpr = infixToPostfix(inExpr) print(postExpr) result = evalPostfix(postExpr) print(result)输出结果：
11.25
请务必注意，我们输入的中缀表达式中，每个运算符或运算符要用空格隔开。
参考文献3.9. Infix, Prefix and Postfix Expressions:
Python算法实战系列之栈:
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