程序员必学:快速幂算法 (2)

首先21的二进制形式是10101

程序员必学:快速幂算法

程序员必学:快速幂算法

不难得出以下结论

3 ^ n(n为2、4、8、16)都可以由3 ^ 1累乘出来

每一个3 ^ n都有对应的二进制位

3 ^ 1对应二进制位的值是1,其实是二进制10101的最后1位

3 ^ 2对应二进制位的值是0,其实是二进制1010的最后1位

3 ^ 4对应二进制位的值是1,其实是二进制101的最后1位

3 ^ 8对应二进制位的值是0,其实是二进制10的最后1位

3 ^ 16对应二进制位的值是1,其实是二进制1的最后1位

如果3 ^ n对应二进制位的值是0,就不用乘进最终结果

比如3 ^ (8 * 0)、3 ^ (2 * 0)

因为它们最终的值都是3 ^ 0,也就是1

如果3 ^ n对应二进制位的值是1,就需要乘进最终结果

比如3 ^ (16 * 1)、3 ^ (4 * 1)、3 ^ (1 * 1)

所以,综合以上种种结论,可以总结出以下解题步骤

利用3 ^ 1,不断累乘出3 ^ n(n为2、4、8、16)

每当累乘出一个3 ^ n,就查看其对应二进制位的值是1还是0,来决定是否要将它乘进最终结果

int fastPower(int x, int n) { int result = 1; while (n != 0) { if ((n & 1) == 1) { result *= x; } x *= x; n >>= 1; } return result; }

代入3和21,fastPower(3, 21)的执行流程如下

第1轮while循环

第4行代码

n的二进制是10101(十进制是21)

x = 3 ^ 1, 其对应二进制位的值是1(n的最后一个二进制位)

所以需要执行第5行代码:将x乘进最终结果

result = 3 ^ 1

第7行代码

x = (3 ^ 1) * (3 ^ 1) = 3 ^ 2

第8行代码

n右移1位,其二进制变成了1010(对应的十进制是啥?不重要!!!)

第2轮while循环

第4行代码

n的二进制是1010

x = 3 ^ 2, 其对应二进制位的值是0(n的最后一个二进制位)

所以不需要执行第5行代码:不需要将x乘进最终结果

result = 3 ^ 1

第7行代码

x = (3 ^ 2) * (3 ^ 2) = 3 ^ 4

第8行代码

n右移1位,其二进制变成了101(对应的十进制是啥?不重要!!!)

第3轮while循环

第4行代码

n的二进制是101

x = 3 ^ 4, 其对应二进制位的值是1(n的最后一个二进制位)

所以需要执行第5行代码:将x乘进最终结果

result = (3 ^ 1) * (3 ^ 4)

第7行代码

x = (3 ^ 4) * (3 ^ 4) = (3 ^ 8)

第8行代码

n右移1位,其二进制变成了10(对应的十进制是啥?不重要!!!)

第4轮while循环

第4行代码

n的二进制是10

x = 3 ^ 8, 其对应二进制位的值是0(n的最后一个二进制位)

所以不需要执行第5行代码:不需要将x乘进最终结果

result = (3 ^ 1) * (3 ^ 4)

第7行代码

x = (3 ^ 8) * (3 ^ 8) = 3 ^ 16

第8行代码

n右移1位,其二进制变成了1(对应的十进制是啥?不重要!!!)

第5轮while循环

第4行代码

n的二进制是1

x = 3 ^ 16, 其对应二进制位的值是1(n的最后一个二进制位)

所以需要执行第5行代码:将x乘进最终结果

result = (3 ^ 1) * (3 ^ 4) * (3 ^ 16)

第7行代码

x = (3 ^ 16) * (3 ^ 16) = 3 ^ 32

第8行代码

n右移1位,其二进制变成了0

最后

由于n = 0,所以退出while循环

最终result = (3 ^ 1) * (3 ^ 4) * (3 ^ 16)

复杂度分析

每执行一次while的循环体,n >>= 1, 会导致n的值减半

所以时间复杂度:O(logn)、空间复杂度:O(1)

Leetcode

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