前阵子，有小伙伴在我B站的算法教程底下留言
小伙伴们有任何疑问或者希望我讲解任何内容，都可以在我的个人B站或公众号（xmg_mj）留言哦，我会尽我最大能力、尽量抽时间去写文章\录视频来回应大家。 关于快速幂
其实快速幂相关的问题，是参加算法竞赛（NOI、ACM等）的小伙伴必须要掌握的一小块基础内容。当然，就算你不打算参加算法竞赛，个人觉得只要你是一名程序员，就必须要掌握快速幂算法。
在《计算机程序设计艺术》一书中就有提到快速幂算法，此书的英文名是The Art of Computer Programming，简称TAOCP。
TAOCP出自Donald Ervin Knuth前辈之手。Knuth前辈是在计算机领域成就颇丰的知名科学家，是著名的KMP算法的发明人之一，在1974年获得“计算机领域的诺贝尔奖”：图灵奖（当年他才36岁）。目前TAOCP已经出版了第1、2、3、4A卷，按照计划，还有第4B、5、6、7卷未出版。第一卷首发于1968年，Knuth前辈今年是82岁高寿，据说他计划在105岁之前完成这部巨著。
关于TAOCP，微软创始人Bill Gates曾说过
If you think you're a really good programmer… read (Knuth's) Art of Computer Programming… You should definitely send me a resume if you can read the whole thing.
大概意思是：如果你认为自己是一位非常优秀的程序员，那就应该阅读Knuth的TAOCP；如果你能读懂全部内容，可以直接给我发送一份简历。据说Knuth前辈的言辞更加犀利：看不懂就别当程序员了！不过TAOCP对于新手来说，阅读难度的确比较大，书中的所有示例都使用了Knuth自创的MIX汇编语言。
阅读本文之前的提醒今天就抽空写一篇文章来讲解一下经典的快速幂算法哈。不过要想彻底看懂本文，有几个前提条件
熟悉算法中的2个基础概念：时间复杂度、空间复杂度
如果你压根没听过这2个概念，说明你的算法基础完全为0，真的没有在开玩笑！
可以向公众号发送复杂度获取相关教程
熟悉二进制和十进制的转换
如果连这个都不熟悉的话，那你的编程底子就真的需要好好补补啦
可以向公众号发送进制获取相关教程
熟悉常见的位运算操作
n & 1的结果是n最低二进制位的值，也可以用于判断n的奇偶性
求正整数n / 2，可以用位运算取代：n >> 1
如果不明白上述操作的原理，可以向公众号发送位运算获取相关教程
什么是幂（Power）？众所周知，x的n次幂，是指x的n次方，也就是n个x相乘，比如2的4次幂就是2 * 2 * 2 * 2。
为了简化描述，后面x的n次幂，我就简化为x ^ n（本文中的 ^ 并不是按位异或的意思）
那如何通过编程求幂？假设只考虑x、n是整数且n大于等于0的情况，最容易想到的方法如下所示（这里采用的编程语言是Java，但没有涉及Java特殊的语法。所以就算你没用过Java，也可以看懂）
int power(int x, int n) { int result = 1; while (n-- > 0) { result *= x; } return result; }很显然，这种方法的时间复杂度是O(n)、空间复杂度是O(1)
什么是快速幂？所谓快速幂，就是用效率更高（时间复杂度更低）的方法求幂，可以将时间复杂度优化至O(logn)。这里介绍2种求解方法：递归、非递归
递归根据上图中的等式，不难写出以下代码
int fastPower(int x, int n) { if (n == 0) return 1; int result = fastPower(x, n >> 1); result *= result; return (n & 1) == 0 ? result : result * x; }这个方法的时间、空间复杂度都是O(logn)。
那如何分析出这个方法的复杂度呢？
如果你的算法功底比较薄弱，可以代入特定值作一个大概的分析，比如当n为16时，方法的递归调用过程如下图所示
不难看出，每次调用时，n的规模都减半，所以时间和空间复杂度都是O(logn)
如果你的算法功底还行，那就可以用更专业的方法去分析它的复杂度（没有一定的算法基础，可能会看不懂）
这其实是典型的应用分治策略的算法
假设T(n)是数据规模为n时的时间复杂度，不难得出递推式：T(n) = T(n / 2) + O(1)
最后根据递推式 + 主定理（Master Theorem）可以直接得出结论：T(n) = O(logn)
非递归我们以求3 ^ 21为例子，来分析一下非递归的代码应该怎么写。