leetcode 650. 只有两个键的键盘

https://leetcode-cn.com/problems/2-keys-keyboard/description/

题目描述

最初在一个记事本上只有一个字符 ‘A’。你每次可以对这个记事本进行两种操作：

Copy All (复制全部) : 你可以复制这个记事本中的所有字符(部分的复制是不允许的)。
Paste (粘贴) : 你可以粘贴你上一次复制的字符。
给定一个数字 n。你需要使用最少的操作次数，在记事本中打印出恰好 n 个 ‘A’。输出能够打印出 n 个 ‘A’ 的最少操作次数。

样例 输入: 3 输出: 3 解释: 最初, 我们只有一个字符 \'A\'。 第 1 步, 我们使用 Copy All 操作。 第 2 步, 我们使用 Paste 操作来获得 \'AA\'。 第 3 步, 我们使用 Paste 操作来获得 \'AAA\'。 注意

n 的取值范围是 [1, 1000]。

算法1 (动态规划) $O(n)$

设计状态 $f(i)$，表示构成 $i$ 个 A 所需要的最少步数，注意这里只需要计算是 n 的约数的状态，即状态 $i$，满足 $n \% i == 0$。

初始时，$f(1) = 0$，其余为正无穷；每次转移时，枚举 $i$ 非自身的约数 $j$，即 $i \% j==0$ 并且 $j \neq i$，则有 $f(i) = \min (f(i), f(j) + \frac{i}{j})$。

最终答案为 $f(n)$。

时间复杂度

状态数有 $O(\sqrt n)$个，每个状态的转移有 $O(\sqrt n)$个，故总时间复杂度为 $O(n)$。

C++ 代码

class Solution { public: int minSteps(int n) { vector<int> f(n + 1, INT_MAX); f[1] = 0; for (int i = 2; i <= n; i++) if (n % i == 0) for (int j = 1; j * j <= n; j++) if (i % j == 0) { f[i] = min(f[i], f[j] + i / j); if (i > 1) f[i] = min(f[i], f[i / j] + j); } return f[n]; } };