对于一个正整数 \(n\)，模 \(n\) 意义下的简化剩余系为模 \(n\) 意义下的完全剩余系中与 \(n\) 互质的元素的集合，记为 \(Z_n^*\)
于是我们得到了欧拉函数的另一种表示：\(\phi(n)~=~|Z_n^*|\)
四、逆元定义略
4.1逆元存在的定理(4.1.1)\(a\) 在 模 \(n\) 意义下存在逆元当且仅当 \(a~\perp~n\)，我们约定数论中 \(a~\perp~b\) 意为 \(a\) 和 \(b\) 互质
证明：设 \(ax~\equiv~1~\pmod n\) 。本式可以写成 \(ax~\bmod~n~=~1\)假设 \(a\) 和 \(n\) 有共同因子 \(p~(p~>~1)\) ，则一定有 \(p~|~(ax~\bmod~n)\)。又因为 \(p~>~1\)，\(ax~\bmod~n~=~1\)，产生矛盾。于是一定是一定满足 \(a~\perp~b\)。
证毕 五、模意义下的幂次 5.1 次方同余一的存在性\((5.1.1)\)\(\forall~a,n~\in~Z^+~,s.t~~a~|~n\)，则一定 \(\exists~k~>~0~,~~s.t.~~a^k~\equiv~1~\pmod n~\)
证明：由 \(a~|~n\)，得 \(\forall~k~\in~Z^+,(a^k~\bmod~n)~\in~Z_n^*\)。由于有无穷多个 \(a^k\)，且 \(Z_n^*\) 大小有限，于是一定存在 \(i~>~j~\land~a^i~\equiv~a^j~\pmod n\)。两侧同乘 \(a^j\) 的逆元，则 \(a^{i-j}~\equiv~1~\pmod n\)。
证毕 5.2 阶的定义\(\forall~a,n~\in~Z^+,~s.t.~~a~|~n\)，定义满足 \(a^k~\equiv~1 \pmod n\) 的最小正整数 \(k\) 为 \(a\) 在 模 \(n\) 意义下的阶，记为 \(<a>\)。
5.3 阶的性质在模 \(n\) 意义下一定有 \(<a>~|~\phi(n)\)。其中 \(\phi\) 代表欧拉函数
证明：反证法，假设 \(<a>~\nmid~\phi(n)\) 。根据欧拉定理，有 \(a^{\phi(n)}~\equiv~1~\pmod n\) 。根据阶的定义，有 \(a^{<a>}~\equiv~1~\pmod n\)。于是显然有 \(a^{\phi(n) \bmod <a>}~\equiv~1~\pmod n\) 且 \(\phi(n)~\bmod~<a>~\neq~0\)。根据带余除法， \(\phi(n)~\bmod~<a>~<~<a>\)。这与 \(<a>\) 是最小的满足 \(a^k~\equiv~1~\pmod n\) 的整数 \(k\) 矛盾。
证毕。 5.4 原根若 \(<a>~=~\phi(n)\)，则称 \(a\) 是 \(n\) 的原根。