三天的工厂实地监测，在师兄的帮助下，终于理解了原来似懂非懂的FFT变换的工程意义，废话少说，直入正题。
一、理论分析
快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform)是离散傅里叶变换的一种快速算法，简称FFT，通过FFT可以将一个信号从时域变换到频域。
模拟信号经过A/D转换变为数字信号的过程称为采样。为保证采样后信号的频谱形状不失真，采样频率必须大于信号中最高频率成分的2倍，这称之为采样定理。
假设采样频率为fs，采样点数为N，那么FFT结果就是一个N点的复数，每一个点就对应着一个频率点，某一点n(n从1开始)表示的频率为：fn=(n-1)*fs/N。
举例说明：用1kHz的采样频率采样128点，则FFT结果的128个数据即对应的频率点分别是0，1k/128，2k/128，3k/128，…，127k/128 Hz。
这个频率点的幅值为：该点复数的模值除以N/2（n=1时是直流分量，其幅值是该点的模值除以N）。
下面先来简要分析下封装好的FFT的C程序包
1 /********************************************************************* 2 快速福利叶变换C程序包 3 函数简介：此程序包是通用的快速傅里叶变换C语言函数，移植性强，以下部分不依 4 赖硬件。此程序包采用联合体的形式表示一个复数，输入为自然顺序的复 5 数（输入实数是可令复数虚部为0），输出为经过FFT变换的自然顺序的 6 复数.此程序包可在初始化时调用create_sin_tab()函数创建正弦函数表， 7 以后的可采用查表法计算耗时较多的sin和cos运算，加快可计算速度.与 8 Ver1.1版相比较，Ver1.2版在创建正弦表时只建立了1/4个正弦波的采样值， 9 相比之下节省了FFT_N/4个存储空间 10 使用说明：使用此函数只需更改宏定义FFT_N的值即可实现点数的改变，FFT_N的 11 应该为2的N次方，不满足此条件时应在后面补0。若使用查表法计算sin值和 12 cos值，应在调用FFT函数前调用create_sin_tab()函数创建正弦表 13 函数调用：FFT(s); 14 作 者：吉帅虎 15 时 间：2010-2-20 16 版 本：Ver1.2 17 参考文献： 18 **********************************************************************/ 19 #include <math.h> 20 #include "fft.h" 21 22 float *SIN_TAB;//定义正弦表的存放空间 23 int FFT_N = 1024;//定义采样点大小 24 /******************************************************************* 25 函数原型：struct compx EE(struct compx b1,struct compx b2) 26 函数功能：对两个复数进行乘法运算 27 输入参数：两个以联合体定义的复数a,b 28 输出参数：a和b的乘积，以联合体的形式输出 29 *******************************************************************/ 30 struct compx EE(struct compx a,struct compx b) 31 { 32 struct compx c; 33 c.real=a.real*b.real-a.imag*b.imag; 34 c.imag=a.real*b.imag+a.imag*b.real; 35 return(c); 36 } 37 38 /****************************************************************** 39 函数原型：void create_sin_tab(float *sin_t，int PointNum) 40 函数功能：创建一个正弦采样表，采样点数与福利叶变换点数相同 41 输入参数：*sin_t存放正弦表的数组指针,PointNum采样点数 42 输出参数：无 43 ******************************************************************/ 44 void create_sin_tab(float *sin_t,int PointNum) 45 { 46 int i; 47 SIN_TAB=sin_t; 48 FFT_N=PointNum; 49 for(i=0;i<=FFT_N/4;i++) 50 SIN_TAB[i]=sin(2*PI*i/FFT_N); 51 } 52 /****************************************************************** 53 函数原型：void sin_tab(float pi) 54 函数功能：采用查表的方法计算一个数的正弦值 55 输入参数：pi 所要计算正弦值弧度值，范围0--2*PI，不满足时需要转换 56 输出参数：输入值pi的正弦值 57 ******************************************************************/ 58 float sin_tab(float pi) 59 { 60 int n=0; 61 float a=0; 62 n=(int)(pi*FFT_N/2/PI); 63 64 if(n>=0&&n<=FFT_N/4) 65 a=SIN_TAB[n]; 66 else if(n>FFT_N/4&&n<FFT_N/2) 67 { 68 n-=FFT_N/4; 69 a=SIN_TAB[FFT_N/4-n]; 70 } 71 else if(n>=FFT_N/2&&n<3*FFT_N/4) 72 { 73 n-=FFT_N/2; 74 a=-SIN_TAB[n]; 75 } 76 else if(n>=3*FFT_N/4&&n<3*FFT_N) 77 { 78 n=FFT_N-n; 79 a=-SIN_TAB[n]; 80 } 81 82 return a; 83 } 84 /****************************************************************** 85 函数原型：void cos_tab(float pi) 86 函数功能：采用查表的方法计算一个数的余弦值 87 输入参数：pi 所要计算余弦值弧度值，范围0--2*PI，不满足时需要转换 88 输出参数：输入值pi的余弦值 89 ******************************************************************/ 90 float cos_tab(float pi) 91 { 92 float a,pi2; 93 pi2=pi+PI/2; 94 if(pi2>2*PI) 95 pi2-=2*PI; 96 a=sin_tab(pi2); 97 return a; 98 } 99 /***************************************************************** 100 函数原型：void FFT(struct compx *xin) 101 函数功能：对输入的复数组进行快速傅里叶变换（FFT） 102 输入参数：*xin复数结构体组的首地址指针，struct型 103 输出参数：无 104 *****************************************************************/ 105 void FFT(struct compx *xin) 106 { 107 int f,m,i,k,l,j=0; 108 register int nv2,nm1; 109 struct compx u,w,t; 110 111 nv2=FFT_N/2; //变址运算，即把自然顺序变成倒位序，采用雷德算法 112 nm1=FFT_N-1; 113 for(i=0;i<nm1;i++) 114 { 115 if(i<j) //如果i<j,即进行变址 116 { 117 t=xin[j]; 118 xin[j]=xin[i]; 119 xin[i]=t; 120 } 121 k=nv2; //求j的下一个倒位序 122 while(k<=j) //如果k<=j,表示j的最高位为1 123 { 124 j=j-k; //把最高位变成0 125 k=k/2; //k/2，比较次高位，依次类推，逐个比较，直到某个位为0 126 } 127 j=j+k; //把0改为1 128 } 129 130 { 131 int le,lei,ip; //FFT运算核，使用蝶形运算完成FFT运算 132 f=FFT_N; 133 for(l=1;(f=f/2)!=1;l++) //计算l的值，即计算蝶形级数 134 ; 135 for(m=1;m<=l;m++) // 控制蝶形结级数 136 { //m表示第m级蝶形，l为蝶形级总数l=log（2）N 137 le=2<<(m-1); //le蝶形结距离，即第m级蝶形的蝶形结相距le点 138 lei=le/2; //同一蝶形结中参加运算的两点的距离 139 u.real=1.0; //u为蝶形结运算系数，初始值为1 140 u.imag=0.0; 141 //w.real=cos(PI/lei); //不适用查表法计算sin值和cos值 142 // w.imag=-sin(PI/lei); 143 w.real=cos_tab(PI/lei); //w为系数商，即当前系数与前一个系数的商 144 w.imag=-sin_tab(PI/lei); 145 for(j=0;j<=lei-1;j++) //控制计算不同种蝶形结，即计算系数不同的蝶形结 146 { 147 for(i=j;i<=FFT_N-1;i=i+le) //控制同一蝶形结运算，即计算系数相同蝶形结 148 { 149 ip=i+lei; //i，ip分别表示参加蝶形运算的两个节点 150 t=EE(xin[ip],u); //蝶形运算，详见公式 151 xin[ip].real=xin[i].real-t.real; 152 xin[ip].imag=xin[i].imag-t.imag; 153 xin[i].real=xin[i].real+t.real; 154 xin[i].imag=xin[i].imag+t.imag; 155 } 156 u=EE(u,w); //改变系数，进行下一个蝶形运算 157 } 158 } 159 } 160 }