【算法】回溯法四步走

对于回溯法,网上有很多种解释,这里我依照自己的(死宅)观点做了以下三种通俗易懂的解释:

正经版解释:其实人生就像一颗充满了分支的n叉树,你的每一个选择都会使你走向不同的路线,获得不同的结局。如果能重来,我要选李白~呸!说错了,如果能重来,我们就能回溯到以前,选择到最美好的结局。

游戏版解释:玩过互动电影游戏(如 行尸走肉)的都知道,你的每个选择都会影响游戏的结局,掌控他人的生死。每次选择错误导致主角或配角死亡,我们是不是回溯读档,希望得到一个更好的结局。

PS:克莱曼婷天下无敌!

动漫版解释:看过主角拥有死亡回归(疯狂暗示486)的都知道,主角的每个选择都能影响大局,可是486直接能回溯重选,这与我们今天要讲的回溯法极其相似。

PS:爱蜜莉雅、雷姆我都要!

电影版解释:《大话西游》里有这样的情节,至尊宝要对着「月光宝盒」喊一声「波若菠萝蜜」,时间就可以回到回去(所有的人物、事物都得一样,才能叫「回到过去」),他才能救人。这个道理其实和这里的「撤销选择」是一模一样的。
只有撤销上一次的选择,重置现场,才能够回到 完全一样 的过去,再开始新的尝试才会是有效的。
理解回溯比较困难的是理解「回到过去」,现实世界里我们无法回到过去,但是在算法的世界里可以。

总结版解释:从众多分支的路径中,找到符合结果的路径或路径集。

专业名词

解空间:即 所有的可能情况

概念

回溯算法:是类似于枚举的搜索尝试过程,主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解,当发现已不满足求解条件时,就“回溯”返回,尝试别的路径。
它是一种选优搜索法,按选优条件向前搜索,以达到目标。但当探索到某一步时,发现原先选择并不优或达不到目标,就退回一步重新选择,这种走不通就退回再走的技术称为回溯法,而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”(你也可以理解为存档点)。

【算法】回溯法四步走


上图为八皇后的解空间树,如果当前点不符合要求就退回再走
许多复杂的,规模较大的问题都可以使用回溯法,有“通用解题方法”的美称。

基本思想

在包含问题的所有解的解空间树中,按照深度优先搜索的策略,从根结点出发深度探索解空间树。
当探索到某一结点时,要先判断该结点是否包含问题的解:

如果包含,就从该结点出发继续探索下去;

如果该结点不包含问题的解,则逐层向其祖先结点回溯。(其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法)

结束条件:

若用回溯法求问题的所有解时,要回溯到根,且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。

若使用回溯法求任一个解时,只要搜索到问题的一个解就可以结束。

网上的一般步骤

虽然我觉得网上的一般步骤太抽象了,但是还是摆在这里供大家参考吧。。

针对所给问题,确定问题的解空间:
首先应明确定义问题的解空间,问题的解空间应至少包含问题的一个(最优)解。

确定结点的扩展搜索规则:
及时确定规则,并不是每个解空间都要走完才能发现是死路的,有时候走到一半就发现不满足条件了。

以深度优先方式搜索解空间,并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索:
不满足条件的路径及时剪掉(即 剪枝),避免继续走下去浪费时间。

类比:比如说削苹果
我们规定:苹果皮必须不断,要完整地削完整个苹果。
那么,如果我们削到一半苹果皮断掉了,我们就可以直接退回去(即 回溯)换个苹果削了,如果继续削下去,只会浪费时间。

算法框架

问题框架:
设问题的是一个n维向量(a1,a2,…,an)约束条件ai(i=1,2,3,…,n)之间满足某种条件,记为 f(ai)

非递归回溯框架

其中,a[n]为解空间,i为搜索的深度,框架如下:

int a[n],i; //a[n]为解空间,i为深度 初始化数组 a[]; i = 1; while (i>0(有路可走) and (未达到目标)) { //还未回溯到头 if(i > n) { //搜索到叶结点 搜索到一个解,输出; } else { //处理第 i 个元素 a[i]第一个可能的值; while(a[i]在不满足约束条件且在搜索空间内) { a[i]下一个可能的值; }//while if(a[i]在搜索空间内) { 标识占用的资源; i = i+1; //扩展下一个结点 } else { 清理所占的状态空间; //回溯 i = i – 1; }//else }//else }//while 递归回溯框架

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