Miller-Rabin素数检测算法

由于收到某退役学长的鞭策，忽然就想学习一丢数论
来补充一下虎哥基础数论中没有出现的东西
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定义

Miller-Rabin素数测试，又称米勒-拉宾素性检验，是一种素数判定法则，利用随机化算法判断一个数是合数还是可能是素数。
卡内基梅隆大学的计算机系教授Gary Lee Miller首先提出了基于广义黎曼猜想的确定性算法，由于广义黎曼猜想并没有被证明，其后由以色列耶路撒冷希伯来大学的Michael O. Rabin教授作出修改，提出了不依赖于该假设的随机化算法。（摘自百度百科）

用处&背景

根据上面的定义可以显然的看到，这个算法的主要目的就是进行单个素数的判定
在前期学习当中，我们也学习过单个素数的判定
复杂度为\(O(\sqrt n)\)，代码如下

bool isPrime(int x) { if (x < 2) return false; for (int i = int(sqrt(x+0.5)); i >= 2; --i) { if (x % i == 0) return false; } return true; }

那么利用Miller-Rabin（简称MR）算法
还有优秀的龟速乘（快速加）以及快速幂
复杂度可以达到\(O(klog_n)\)
MR的复杂度在百科中给出了一大堆\(log\)像这样：
使用快速傅里叶变换能够将这个时间推进到\(O(klog_nloglog_nlogloglog_n)=O(klog_n)\)
总之复杂度就是\(O(klog_n)\)

而且正确性也有一定的保障
经过证明（我不会）
每次检测MR给出的错误结果的概率小于等于\(\frac 1 4\)
那么进行k次检测的错误概率可降低至\(O({\frac 1 4}^k)\)
实际使用效果要比理论值好不少
可以说是相当优秀了

证明

下面来看正确性的证明
需要用到的前置知识：费马小定理，二次探测定理，Wilson定理。
不太好解释，没关系，我们一个一个来看
有个别不懂的算法可以直接点击右侧目录去看

费马小定理 性质

若a，p互质，则\(a^{p-1}≡1(mod p)\)

证明

考虑\(1,2,3...(p - 1)\)共\(p-1\)个数字，给所有数字同时乘\(a\)，得到\(a,2a,3a,...(p - 1)a\)

\[\because a \neq b (mod p), (c, p) = 1 \]