学卡特兰数我觉得可能比组合数要难一点，因为组合数可以很明确的告诉你那个公式是在干什么，而卡特兰数却像是在用大量例子来解释什么时卡特兰数
这里，我对卡特兰数做一点自己的理解
卡特兰数是一个在组合数学里经常出现的一个数列，它并没有一个具体的意义，却是一个十分常见的数学规律
对卡特兰数的初步理解：有一些操作，这些操作有着一定的限制，如一种操作数不能超过另外一种操作数，或者两种操作不能有交集等，这些操作的合法操作顺序的数量
为了区分组合数，这里用\(f_n\)表示卡特兰数的第\(n\)项
从零开始，卡特兰数的前几项为\(1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790\ldots\)
递归定义
\(f_n=f_0*f_{n-1}+f_1*f{n-2}+\ldots+f_{n-1}f_{0}\)，其中\(n\geq 2\)
递推关系
\(f_n=\frac{4n-2}{n+1}f_{n-1}\)
通项公式
\(f_n=\frac{1}{n+1}C_{2n}^{n}\)
经化简后可得
\(f_n=C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}\)
只要我们在解决问题时得到了上面的一个关系，那么你就已经解决了这个问题，因为他们都是卡特兰数列
实际问题先用一个最经典的问题来帮助理解卡特兰数
去掉了所有的掩饰，将问题直接写出来就是
在一个\(w\times h\)的网格上，你最开始在\(\left(0,0\right)\)上，你每个单位时间可以向上走一格，或者向右走一格，在任意一个时刻，你往右走的次数都不能少于往上走的次数，问走到\(\left(n,m\right),0\leq n\)有多少种不同的合法路径。
合法路径个数为\(C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}\)
直接求不好，考虑求有多少种不合法路径
路径总数为在\(2n\)次移动中选\(n\)次向上移动，即\(C_{2n}^{n}\)
画一下图，我们把\(y=x+1\)这条线画出来，发现所有的合法路径都是不能碰到这条线的，碰到即说明是一条不合法路径
先随便画一条碰到这条线的不合法路径，所有的不合法路径都会与这条线有至少一个交点，我们把第一个交点设为\(\left(a,a\right)\)
如图
我们把\(\left(a,a\right)\)之后的路径全部按照\(y=x+1\)这条线对称过去
这样，最后的终点就会变成\(\left(n-1,n+1\right)\)
由于所有的不合法路径一定会与\(y=x+1\)有这么一个交点
我们可以得出，所有不合法路径对称后都唯一对应着一条到\(\left(n-1,n+1\right)\)的路径
且所有到\(\left(n-1,n+1\right)\)的一条路径都唯一对应着一条不合法路径（只需将其对称回去即可）
所以不合法路径总数是\(C_{2n}^{n-1}\)
那么合法的路径总数为\(C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}\)
这是一个非常好用且重要的一个方法，其它的问题也可以用该方法解决
即找到不合法路径唯一对应的到另一个点的路径
如网格计数
先将方法写在前面吧
相信大家都听过烧开水这个数学小故事吧
和学习数学一样，转化是基本思路，将一个问题转化为另外一个已经解决了的问题是最重要的
你现在有\(n\)个\(0\)和\(n\)个\(1\)，问有多少个长度为\(2n\)的序列，使得序列的任意一个前缀中\(1\)的个数都大于等于\(0\)的个数
例如\(n=2\)时
有\(1100,1010\)两种合法序列
而\(1001,0101,0110,0011\)都是不合法的序列
合法的序列个数为\(C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}\)
我们把出现一个\(1\)看做向右走一格，出现一个\(1\)看做向上走一格，那么这个问题就和上面的例题\(1\)一模一样了
拓展
如果是\(n\)个\(1,m\)个\(0\)呢？
不过是最后的终点变为了\(\left(n,m\right)\)罢了
如果是\(1\)的个数不能够比\(m\)少\(k\)呢
我们只需将\(y=x+1\)这条线上下移动即可
你有\(n\)个左括号，\(n\)个右括号，问有多少个长度为\(2n\)的括号序列使得所有的括号都是合法的
合法的序列个数为\(C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}\)