设实半正定矩阵 $A$ 满足:
$$\bee\label{130628.1}
\alpha\in \bbQ^n,\quad\alpha^tA\alpha=0\ra \alpha=0.
\eee$$
证明或否定: $A$ 是正定的.
若 (1) 中的矩阵 $A$ 为有理半正定矩阵, 再回答第一小问.
解答：
$A$ 不一定正定. 比如
$$\bex
A=\sex{\ba{cc}
1&e\\
e&e^2\ea}
\eex$$
不正定, 但适合 \eqref{130628.1}. 因为
$$\beex
\bea
&\quad 0=\alpha^tA\alpha=x^2+2exy+e^2y^2\quad(\alpha^t=(x,y\in\bbQ^2))\\
&\ra e=-x/y\mbox{ 或 }y=0\\
&\ra x=y=0,\quad \alpha=0.
\eea
\eeex$$
若 $A$ 为有理矩阵, 则结论正确. 经初等变换, 存在可逆有理阵 $P$, 使得 $P^tAP=\diag(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)$. 由 $A$ 半正定知各 $\lambda_i\geq 0$. 若某 $\lambda_l=0$, 则取
$$\bex
\alpha^t=e_l^tP^t\neq 0,\quad e_l=(\underbrace{0,\cdots,0,1}_{l\mbox{个}},0,\cdots,0),
\eex$$
有
$$\bex
\alpha^tA\alpha
=e_l^tP^tAPe_l
=e_l^t\diag(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)e_l=0.
\eex$$
注记：
这是我的博士同学 X.N. Zeng 在看他的魔鬼数论书是提出并解决的. 但是他的提法有点问题.
你要搞懂我要问的是什么哦. 我是说 ``任意满足 $\alpha^tQ\alpha=0$ 的有理向量 $\alpha$, 都适合 $\alpha=0$\'\'.