(翻译，图片也来自原文)
一、概述绝大部分计算机的显示器是二维的(a 2D surface)。在OpenGL中一个3D场景需要被投影到屏幕上成为一个2D图像(image)。这称为投影变换(参见这或这)，需要用到投影矩阵(projection matrix)。
首先，投影矩阵会把所有顶点坐标从eye coordinates(观察空间，eye space或view space)变换到裁剪坐标(clip coordinated，属于裁剪空间，clip space)。然后，这些裁剪坐标被变换到标准化设备坐标(normalized device coordinates, NDC，即坐标范围在-1到1之间)，这一步是通过用用裁剪坐标的\(w_c\)分量除裁剪坐标实现的。
因此，我们要记住投影矩阵干了两件事: 裁剪clipping(即frustum culling，视景体剔除)和生成NDC。下文会讲述如何根据6个参数(left, right, bottom, top, near和far边界值)来构建投影矩阵。
注意视景体剔出(也即clipping)是在裁剪坐标下完成的，是早于用\(w_c\)(即上面提到的\(w\)分量,c表示clipping)除裁剪坐标的(它会生成NDC)。裁剪坐标\(x_c, y_c, z_c\)会与\(w_c\)进行比较。如果裁剪坐标比\(-w_c\)小或者比\(w_c\)大，则丢弃这个顶点(vertex)。即经裁剪后剩余的顶点的裁剪坐标满足:\(-w_c < x_c, y_c, z_c < w_c\)。OpenGL会成发生裁剪的地方生成新的边，如下图1，一个三角形经裁后，成了一个梯形，两条红色的边就是裁剪后新生成的。
(图1. 一个被视体裁剪的三角形)
一般常用的有透视投影和正交投影，相应地也就有两种投影矩阵。
二、透视投影(Perspective Projection)(图2. 透视投影中的视景体和标准化设备坐标NDC)
在透视投影中，一个3D point是在一个截头锥体中(truncated pyramid frustum,上面图2左图，即一个棱台)，会被映射到一个立方体(NDC坐标空间)中，x坐标范围从[1, r]变成了[-1, 1]，y坐标范围从[b, t]变成了[-1, 1]，z坐标从[-n, -f]变成了[-1, 1]。
注意在view space中(即eye coordinate)，OpenGL使用的是右手坐标系(上面图2左图)，但是在NDC中使用的是左手坐标系(上面图2右图)。这样的话，在view space中camera位于坐标原点看向-z轴，而在NDC中camera是看向+z轴的。上面图2中的n表示近裁剪面(near plane)，是正值。因为glFrustum()接受的near、far的值是正的，所以在在构造投影矩阵时，要为它们取负(negate them)。
在OpenGL中，view space(又称为eye space)中的一个3D point被投影到近裁剪面(此处用近裁剪面作投影平面，projection plane)上。下图3和图4显示了eye space中的一个点\((x_e, y_e, z_e)\)是怎样被投影成近裁剪面上的一个点\((x_p, y_p, z_p)\)。
(图3. 视景体的俯视图)
(图4.视景体的侧视图)
从视景体的俯视图(图3)看，x轴坐标\(x_e\)被映射成为\(x_p\)，而\(x_p\)可以根据三角形相似形计算出来:
\[\frac{x_p}{x_e}=\frac{-n}{z_e} \Longrightarrow x_p = \frac{-n\cdot x_e}{z_e}=\frac{n\cdot x_e}{-z_e} \]