动态规划：矩阵连乘问题

给定n个数字矩阵A1，A2，…，An，其中Ai与Ai+1是可乘的，设Ai是pi-1*pi矩阵, i=1,2,…,n。求矩阵连乘A1A2...An的加括号方法，使得所用的乘次数最少。

例子

三个矩阵连乘，可以有(A1A2)A3和A1(A2A3)两种方法求积 ，乘法次数分别为： p0p1p2+p0p2p3和p0p1p3+p1p2p3

假设p0=10, p1=100, p2=5, p3=50, 两种方法的次数分别是：7500 和 75000

明显可以看出，两种乘法在效率上是有较大差异的，计算机实现乘法比实现加法要复杂，所以如何使乘法次数最小是一个值得探究的问题

如果使用蛮力算法，对所有可能的加括号方法递归搜索，则:

时间复杂度为指数级别，那么就需要有更优的方法来计算最佳的矩阵连乘方法

二、最优子结构性质

维基百科：如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，我们就称该问题具有最优子结构性质（即满足最优化原理）

通常来说，一个问题可以使用动态规划求解，必须具有最优子结构性质。所以，如果我们证明该问题具有最优子结构性质，我们就可以使用动态规划的方法来得到它的最优解，通常可以使用反证法进行证明。

证明：

设(A1…Ak)(Ak+1…An) 具有最少乘法次数，则(A1…Ak)中加括号的方法使A1..Ak乘法次数最少。否则设存在另一种加括号方法(A1…Ak)'更优，则(A1…Ak)'(Ak+1…An) 比 (A1…Ak)(Ak+1…An) 更优，矛盾。同理， (Ak+1…An) 内的连乘方法也是最优的。

三、实现

用m[i][j]表示Ai到Aj连乘的最小次数，则有递推关系：

这里使用一种自底向上的动态填表的方式来进行求解。
由上式及下表可以知道，每当我们要求得一个m[i][j]的值时，都需要知道它左边位置和下边位置所有的值，这样来理解的话就很容易实现了。

i/j 1 2 3 4 5 6
1   0   0   0   0   0   0    
2     0   0   0   0   0    
3       0   0   0   0    
4         0   0   0    
5           0   0    
6             0    
算法过程示例

6个矩阵连乘：P=[30,35,15,5,10,20,25]

计算过程：
i/j | 1 | 2 |3|4 | 5| 6|
---|---|---|---|---|---|---|---
1 | 0 | 15750 |7875|9375 | 11875| 15125|
2 | | 0 |2625|4375 | 7125| 10500|
3 | | |0|750 | 2500| 5375|
4 | | | |0 | 1000| 3500|
5 | | | | | 0| 5000|
6 | | | | | | 0|

还可以增加一个矩阵记录分割点，求得m[i][j]值的那一个k点即为最佳分割点。
该算法的时间复杂度为

O(n^3) 代码示例 #include<iostream> using namespace std; //矩阵连乘问题的解 int MatrixChainOrder(int n,int p[],int a, int b){ int m[n+1][n+1], s[n+1][n+1];//m记录乘法操作次数，s记录分割点k for(int i = 1;i <= n;i++){ m[i][i] = 0; s[i][i] = 0; } for(int i = n-1;i >= 1;i--){ for(int j = i+1;j <= n;j++){ m[i][j] = 10000000; for(int k = i;k <= j-1;k++){ int sum = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j]; if(sum < m[i][j]){ m[i][j] = sum; s[i][j] = k; } } } } printf("%d %d", m[a][b], s[a][b]); } int main(){ int n, i, j; cin >> n; int p[n+1]; for(int i = 0;i < n+1;i++)cin >> p[i];//第i个矩阵为pi*p(i+1) cin >> i >> j; MatrixChainOrder(n, p, i, j); }