激活函数是神经网络中一个重要的环节，本文将介绍为什么神经网络网络要利用激活函数，几种常用的激活函数(逻辑函数Sigmoid、双曲正切函数tanh、线性整流函数(ReLU)，神经网络中的梯度消失问题和ReLU如何避免梯度消失。
1 用激活函数的原因如果神经网络没有进行可以提取非线性特征的卷积操作，而且该神经网络也不用激活函数，那么这个神经网络第i层输出只有Wxi+b。这样此神经网络不论有多少层，第i层的输出都是一个关于第i层输入xi的线性组合，相当于此时多层神经网络退化为一个多层的线性回归模型，难以学习如图像、音频、文本等复杂数据的特征。
正因为这个原因，神经网络要引入激活函数来给神经网络增加一些非线性的特性，所以目前常见的激活函数大多是非线性函数。这样神经网络中下一层得到的输入不再是线性组合了。
2 常见的激活函数 2.1 逻辑函数Sigmoid [1]逻辑函数（logistic function）或逻辑曲线（logistic curve）是一种常见的S函数，它是皮埃尔·弗朗索瓦·韦吕勒在1844或1845年在研究它与人口增长的关系时命名的。
一个简单的Logistic函数表达式为:
\[ \left( x \right) = \frac{1}{{1 + {e^{ - x}}}} \]
图1 标准逻辑函数的图像
逻辑函数形如S，所以通常也叫做S形函数。
从函数图像易知f(x)的定义域为[-∞, +∞]， 值域是(0,1)
对f(x)求导数，易得
\[f'\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{{1 + {e^{ - x}}}}} \right)^\prime } = \frac{{{e^{ - x}}}}{{{{\left( {1 + {e^{ - x}}} \right)}^2}}}\;\; = f\left( x \right)\left( {1 - f\left( x \right)} \right)\]
2.2 双曲正切函数tanh [2]双曲正切函数是双曲函数的一种。在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数。双曲正切函数的定义为
\[f\left( x \right) = \tanh \left( x \right) = \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}\]
图2 双曲正切函数的图像（同逻辑函数类似）
从函数图像易知f(x)的定义域为[-∞, +∞]， 值域是(-1,1)
对f(x)求导数，易得
\[f'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}} \right)^\prime } = \frac{4}{{{{\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)}^2}}}\;\; = 1 - f{\left( x \right)^2}\]
2.3 线性整流函数ReLU [3]线性整流函数（Rectified Linear Unit, ReLU）,又称修正线性单元, 是一种人工神经网络中常用的激活函数，通常指代以斜坡函数及其变种为代表的非线性函数。
通常意义下，线性整流函数指代数学中的斜坡函数，即
\[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} x\quad \quad x \ge 0 \\ 0\quad \quad x < 0 \\ \end{array} \right.\]
图3 ReLU函数图像
从函数图像易知f(x)的定义域为[-∞, +∞]， 值域是[0, +∞)
对f(x)求导数，易得
\[f'\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} 1\quad \quad x \ge 0 \\ 0\quad \quad x < 0 \\ \end{array} \right.\]
3 梯度消失问题和ReLU如何处理此问题使用S形函数作为激活的神经网络中，随着神经网络的层数增加，神经网络后面层在梯度下降中求导的梯度几乎为0，从而导致神经网络网络后面层的权值矩阵几乎无法更新。表现为随着隐藏层数目的增加，分类准确率反而下降了。这种现象叫做消失的梯度问题。
假设神经网络只有三层，用S型函数作为激活函数
第一层输入为x, 输出为S(W1x+b1)
第二层输入为S(W1x+b1)，输出为S(W2S(W1x+b1)+b2)
第三层输入为S(W2S(W1x+b1)+b2)，输出为S(W3S(W2S(W1x+b1)+b2)+b3)
同时简记住每层在激活函数处理前的值为ai, 输出为fi
假设最后损失函数为L，L是一个关于f3的函数，那么求导易得
\[\begin{array}{l} \frac{{\partial L}}{{\partial {W_1}}} = \frac{{\partial L}}{{\partial {f_3}}} \cdot \frac{{\partial S\left( {{W_3}S\left( {{W_2}S\left( {{W_1}x + {b_1}} \right) + {b_2}} \right) + {b_3}} \right)}}{{\partial {W_1}}} \\ \quad \quad = \frac{{\partial L}}{{\partial {f_3}}} \cdot \frac{{\partial S}}{{\partial {a_3}}} \cdot \frac{{\partial {W_3}S\left( {{W_2}S\left( {{W_1}x + {b_1}} \right) + {b_2}} \right) + {b_3}}}{{\partial {W_1}}} \\ \quad \quad = \frac{{\partial L}}{{\partial {f_3}}} \cdot \frac{{\partial S}}{{\partial {a_3}}} \cdot {W_3} \cdot \frac{{\partial S\left( {{W_2}S\left( {{W_1}x + {b_1}} \right) + {b_2}} \right)}}{{\partial {W_1}}} \\ \quad \quad = \cdots \\ \quad \quad = \frac{{\partial L}}{{\partial {f_3}}} \cdot \frac{{\partial S}}{{\partial {a_3}}} \cdot {W_3} \cdot \frac{{\partial S}}{{\partial {a_2}}} \cdot {W_2} \cdot \frac{{\partial S}}{{\partial {a_1}}} \cdot \frac{{\partial {a_1}}}{{\partial {W_1}}} \\ \end{array}\]
其中偏导数∂S/ ∂ai是造成梯度消失的原因，因为S函数的导数阈值为
\[f'\left( x \right) = \frac{{{e^{ - x}}}}{{{{\left( {1 + {e^{ - x}}} \right)}^2}}}\;\; \in \left( {0,\left. {\frac{1}{4}} \right]} \right.\]
即有0<∂S/ ∂a1≤0.25， 0<∂S/ ∂a2≤0.25， 0<∂S/ ∂3≤0.25, 在损失函数偏导表达式中三个偏导数相乘有:
\[0 < \frac{{\partial S}}{{\partial {a_3}}}\frac{{\partial S}}{{\partial {a_2}}}\frac{{\partial S}}{{\partial {a_1}}} \le 0.015625\]
这样会减小损失函数的数值，如果神经网络是20层，则有