高斯函数与高斯滤波
一维高斯函数我们都熟悉，形式如下：
\[G(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp(-\frac{x^2}{2\sigma^2})\]
计算机视觉中，高斯滤波使用的高斯核为\(x\)和\(y\)两个一维高斯的乘积，两个维度上的标准差\(\sigma\)通常相同，形式如下：
\[G(x, y) = \frac{1}{2\pi\sigma^2}\exp(-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2})\]
高斯滤波（平滑），即用某一尺寸的二维高斯核与图像进行卷积。高斯核是对连续高斯函数的离散近似，通常对高斯曲面进行离散采样和归一化得出，这里，归一化指的是卷积核所有元素之和为1，下图为标准高斯和\(\sigma=1.4\)大小为\(5\times5\)的高斯核。
当\(\mu=0\)时，唯一需要控制的参数就是标准差\(\sigma\)，多少合适呢？\(\sigma\)的确定十分依赖于问题背景，需要具体问题具体分析。但理解\(\sigma\)的作用，可以指导调整的方向。
高斯核可以看成是与中心距离负相关的权重。平滑时，调整\(\sigma\)实际是在调整周围像素对当前像素的影响程度，调大\(\sigma\)即提高了远处像素对中心像素的影响程度，滤波结果也就越平滑。高斯曲线随\(\sigma\)变化的曲线如下：
从频域角度看，高斯函数的傅立叶变换仍是高斯，两者标准差间的关系如下：
\[\sigma_x = \frac{1}{2\pi \sigma_w}\]
其中，\(\sigma_x\)为空域高斯的标准差，\(\sigma_w\)为对应频域高斯的标准差，在空域进行高斯平滑相当于频域低通滤波，\(\sigma_x\)越大，\(\sigma_w\)越小，频域高斯越集中，高频成分削弱得越多，图像越平滑。
从低通滤波角度考虑，可以对图像做傅立叶变换进行频谱分析，叠加上频域高斯并调整查看效果，找到适合的\(\sigma_w\)，再推算出空域高斯所需的\(\sigma_x\)。
窗口大小标准差\(\sigma\)确定后，接下来需要确定窗口大小。上面讲了高斯核是对连续高斯的离散近似，窗口越大自然近似越好，但高斯函数是钟形曲线，距离中心越远数值越小，足够远处可以忽略不计，但多远算远呢？
钟型曲线在区间\((\mu - \sigma, \mu +\sigma)\)范围内的面积占曲线下总面积的\(68\%\)，\((\mu - 2\sigma, \mu +2\sigma)\)范围占\(95\%\)，\((\mu - 3\sigma, \mu +3\sigma)\)范围占\(99.7\%\)，一般\(3\sigma\)外的数值已接近于0，可忽略，半径为\(3\sigma\)即窗口大小为\(6\sigma \times 6\sigma\)即可，通常取最近的奇数。上述3个范围在一维和二维高斯中示意如下：
在OpenCV函数createGaussianFilter中，若未指定窗口大小，通过\(\sigma\)推算窗口大小方式如下，半径为\(\sigma\)的3或4倍：
若指定了窗口大小，但未指定\(\sigma\)大小，则通过窗口大小推算\(\sigma\)的方式如下：
\[\sigma = 0.3\times((ksize - 1)\times0.5 - 1) + 0.8\]
具体地，在函数getGaussianKernel中，当ksize不大于7时，直接从内部的\(small_gaussian_tab\)取对应大小的高斯核，若大于7，则使用上式计算出\(\sigma\)然后套用高斯公式，最后再归一化。
在实际使用时，为了高效，卷积核通常取\([0, 255]\)范围内的整数（1个Byte），因此高斯核中心最大取值为255时，窗口尺寸的选取只需让高斯核边界值刚好大于0即可。令高斯核尺寸为\(n\)，半径为\(r\)，\(r = \frac{n-1}{2}\)，高斯核\(x\)轴上边界\((r, 0)\)处与中心\((0, 0)\)处数值之比如下：
\[\frac{G(r, 0)}{G(0, 0)} = \exp(-\frac{r^2}{2 \times (0.3(r-1)+0.8)^2})\]
当\(r\)足够大，其极限为\(\exp(-\frac{1}{2\times0.3^2})=0.00386592\)，若中心值为255，则边界值为\(255*0.00386592=0.9858096 \approx 1\)，是合适的。但公式是如何设计出来的还不清楚，这里只是校验了其性质，sigh。
参考Calculate the Gaussian filter's sigma using the kernel's size
Gaussian Blur - Standard Deviation, Radius and Kernel Size
How to determine the window size of a Gaussian filter
Optimal Gaussian filter radius
Fast Almost-Gaussian Filtering