从数学上来讲，我们可以在$\omega$的所有取值中，寻找一个值使得似然函数达到最大值，这种估计方法称之为极大似然估计。极大似然估计是样本不变时，关于$\omega$的函数。极大似然估计不一定存在，也不一定唯一。
在第1节中预测硬币的质地$\omega$，是关于极大似然估计的一个经典例子。其他例子可以查看参考文献$^{[2]}$。
现在我们看一下极大似然估计在正态分布中的应用：
现在假定我们有一个观测的数据集$\mathbf{x}=(x_1,\cdots,x_N)^T$，表示标量变量$x$的N次观测。我们假定各次观测是独立地从高斯分布中抽取，分布的均值$\mu$和方差$\sigma^2$未知，我们想根据数据集来确定这些参数。两个独立事件的联合概率可以由各个事件的边缘概率的乘积得到。我们的数据集$\mathbf{x}$是独立同分布的，因此给定$\mu$和$\sigma^2$，我们可以给出高斯分布的似然函数：
$$
p(\mathbf{x}|\mu,\sigma^2)=\prod_{n=1}^{N}\mathcal{N}(x_n|\mu,\sigma^2)
$$
为了简化分析和有助于数值运算,我们取似然函数的对数（最大化对数似然等价于最大化似然函数，很容易证明）:
$$
ln(\mathbf x|\mu,\sigma^2)=-\frac {1} {2\sigma^2} \sum_{n=1}^{N}(x_n-\mu)^2-\frac {N}{2}ln\sigma^2-\frac{N}{2}ln(2\pi)
$$
关于$\mu$，最大化对数似然函数，得到$\mu$的最大似然解：
$$
\mu_{ML}=\frac {1}{N} \sum_{n=1}^{N}x_n
$$
可看到解为样本均值。同理，方差$\sigma^2$的最大似然解为：
$$
\sigma_{ML}^2=\frac {1}{N} \sum_{n=1}^{N}(x_n-\mu_{ML})^2
$$
由此完成了正态分布的极大似然估计。
极大似然估计方法求解参数有一定局限性$^{[3]}$，极大似然法除了会得出第1节中关于硬币的极端情况外，还会出现一种情况，有偏估计，就是期望$\ne$理想值。最大似然方法会系统化地低估分布的方差。下面进行证明：
均值的估计$\mu_{ML}$的期望$E[\mu_{ML}]$为:
$$
E(\mu_{ML})=E(\frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N}x_n)=\frac {1}{N}E({\sum_{n=1}^{N}x_n})=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}E(x_n)=\mu
$$
方差的估计$\sigma^2$的期望$E[\sigma_{ML}^2]$为：
$$
E[\sigma_{ML}^2]=E(\frac {1}{N} \sum_{n=1}^{N}(x_n-\mu_{ML})^2)=E(\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}x_n^2-\mu_{ML}^2)=\frac {1}{N}\sum_{n=1}^{N}E(x_n^2)-E(\mu_{ML}^2)
$$
然后求其后两项，正态分布的二阶矩为
$$
E(x_n^2)=\mu^2+\sigma^2
$$
而
$$
E(\mu_{ML}^2)=E((\frac{x_1+x_2+x_3+\cdots+x_n}{n})^2)=\frac{1}{n^2}(n^2\mu^2+n\sigma^2)
$$
故：
$$
E[\sigma_{ML}^2]=\frac{n-1}{n}\sigma^2
$$
由此证明了极大似然的有偏性。其中公式（12）和公式（13）的证明可自行参考正态分布的基础知识。
在这里，PRML$^{[3]}$给出了更直观地解释，如下图：
其中，绿色曲线表示真实高斯分布，数据点是根据此概率分布生成，三条红色分别拟合了三个高斯概率分布，每个数据集包含了两个蓝色数据点，对三个数据集求平均，很明显方差被低估了。因为它是相对样本均值进行测量的，而不是相对真实的均值进行测量
4. 后记极大似然作为机器学习中的一种最常用方法，深刻理解其含义是非常必要且有用的，应该像这对于理解概率论和一些常见的模型有着很大的帮助。当然，极大似然法还有一些性质，如泛函不变性，渐行线行为，限于时间精力和个人水平，没有给出证明，读者可自行参考维基百科$^{[2]}$。文章中大部分内容为总结和摘抄，共勉。
参考文献：
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BC%BC%E7%84%B6%E5%87%BD%E6%95%B0
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%80%E5%A4%A7%E4%BC%BC%E7%84%B6%E4%BC%B0%E8%AE%A1
《 Pattern Recognition and Machine Learning 》（即PRML）
《Theory of Point Estimation》
https://www.zhihu.com/question/35670078