在机器学习中，我们经常要利用极大似然法近似数据整体的分布，本篇文章通过介绍极大似然法及其一些性质，旨在深入浅出地解释清楚极大似然法。
0. 贝叶斯概率首先看一下经典的贝叶斯公式：
$$
p(Y|X)=\frac{p(X|Y)p(Y)}{p(X)}
$$
其中，$p(Y)$称为先验概率($prior$)，即根据先验知识得出的关于变量$Y$的分布，$p(X|Y)$称为似然函数（$likelihood$），$p(X)$为变量$X$的概率，$p(Y|X)$称之为条件概率（给定变量$X$的情况下$Y$的概率，$posterior$，后验概率）。
1. 似然函数似然，即可能性；顾名思义，则似然函数就是关于可能性的函数了。在统计学中，它表示了模型参数的似然性，即作为统计模型中参数的函数。一般形式如下：
$$
L(\omega)=p(D | \omega) = p(x_1, x_2, \cdots ,x_n| \omega)
$$
其中，$D$表示样本集${x_1,x_2,\cdots, x_n}$, $\omega$表示参数向量。
似然函数表示了在不同的参数向量$\omega$下，观测数据出现的可能性的大小，它是参数向量$\omega$的函数。在某种意义上，我们可以认为其是条件概率的逆反$^{[1]}$。
在这里利用Wikipedia$^{[1]}$中的例子简要说明一下似然函数，同时也引出极大似然估计。
考虑优质一枚硬币的实验，通常来说，我们的硬币都是“公平”（质地均匀）的，即正面向上（Head）的概率$p_H=0.5$，由此概率我们可以知道投掷若干次后各种结果出现的可能性（概率，或然性）。
例如，投掷硬币两次，两次都为上的概率为0.25，利用条件概率表示，即：
$$
P(HH|p_h=0.5)=0.5^2=0.25
$$
如果一个硬币并非质地均匀，那么它可能是一枚“非公平”的。在统计学中，我们关注的是已知一系列投掷的结果时，关于硬币投掷时正面朝上的可能性的信息。我们可以建立一个统计模型：假设硬币投出时会有$p_H$的概率正面朝上，则有$1-p_H$的概率反面朝上。这时通过观察已发生的两次投掷，条件概率可以改写成似然函数：
$$
L(p_H)=P(HH|p_H=0.5)=0.25
$$
也就是说，对于取定的似然函数，在观测到两次投掷都是正面朝上时，$p_H$的似然性是0.25。注意，反之并不成立，即当似然函数为0.25时，不能推论出$p_H=0.25$。
如果考虑$p_H=0.6$，那似然函数也会改变：
$$
L(p_H)=P(HH|p_H=0.6)=0.36
$$
如图所示，注意到似然函数的值变大了。这说明，如果参数$p_H$取值变成0.6的话，结果观测到连续两次正面朝上的概率比假设$p_H=0.5$时更大，也就是说，参数$p_H$取0.6要比取成0.5更有说服力，更为"合理"。
总之，似然函数的重要性不是它的具体取值，而是当参数变化时，函数到底变小还是变大。
对同一个似然函数，其所代表的模型中，某项参数值具有多种可能，但如果存在一个参数值，使得它的函数值最爱的话，那么这个值就是这项参数最为“合理”的参数值。
在这个例子中，$p_H$取1时，似然函数达到最大值。也即是，当连续观测到两次正面朝上时，假设硬币投掷时正面朝上的概率为1是最合理的。
在上述引用中，我们看到了一个极端的结论，即未来所有的投掷都会是正面向上，这是频率派观点下使用广泛的一种方法，即极大似然法。在上面的观点中（频率派），$\omega$被认为是一个固定的参数，它的值通过估计来确定。但是在贝叶斯派观点中，只有一个数据集$D$(即实际观测到的数据集)，参数的不确定性通过$\omega$的概率分布来表达。贝叶斯的观点是对先验概率的包含是很自然的事情，包含先验概率的贝叶斯方法将不会得到上述的极端结论。
另外还有两点需要注意，第一，似然函数不是$\omega$的概率分布，关于$\omega$的积分并不一定等于1；第二，似然$\ne$概率，概率（或然性）用于在已知一些参数的情况下预测接下来的结果，似然性则是在已知某些结果时，对有关参数进行估值。关于第二点，举个例子，如果我有一枚硬币，如果是质地均匀的（已知参数），那么它出现正面朝上的概率为0.5（结果）；同样地，如果一枚硬币，我抛了100次，正面朝上52次（结果），那么我认为硬币十有八九是质地均匀的（估计参数）。
2. 极大似然估计（maximum likelihood estimation， MLE）了解了似然函数，那么极大似然估计是什么就很好理解了，它是一种用来估计一个概率模型参数的方法。根据公式（2），我们一旦获得一个数据集$D$，那我们就能求得一个关于$\omega$的估计，极大似然估计会寻找一个最可能的值（此处的可能是最可能的$\omega$，这个$\omega$可以使出现采样$D$的可能性最大化）。