拉格朗日乘数 (3)

日期：2022-03-27 栏目：程序人生浏览：次

如f定义为在Rn上的方程，约束为gk(x)= ck（或将约束左移得到gk(x) − ck = 0）。定义拉格朗日Λ为

$\Lambda(\mathbf x, \boldsymbol \lambda) = f + \sum_k \lambda_k(g_k-c_k)$

。

注意极值的条件和约束现在就都被记录到一个式子里了：

$\nabla \Lambda = 0 \Leftrightarrow \nabla f = - \sum_k \lambda_k \nabla\ g_k,$

和

$\nabla_{\mathbf \lambda} \Lambda = 0 \Leftrightarrow g_k = c_k$

。

拉格朗日乘数常被用作表达最大增长值。原因是从式子：

$-\frac{\partial \Lambda}{\partial {c_k}} = \lambda_k$

。

中我们可以看出λk是当方程在被约束条件下，能够达到的最大增长率。拉格朗日力学就使用到这个原理。

拉格朗日乘数法在卡罗需－库恩－塔克条件被推广。

例子很简单的例子

求此方程的最小值：

f(x, y) = x^2 y

同时未知数满足

x^2 + y^2 = 1

因为只有一个未知数的限制条件，我们只需要用一个乘数

$\lambda$

g (x, y) = x^2 +y^2 -1

$\Phi (x, y, \lambda) = f(x,y) + \lambda g(x, y) = x^2 y + \lambda (x^2 + y^2 - 1)$

将所有

$\Phi$

方程的偏微分设为零，得到一个方程组，最小值是以下方程组的解中的一个：

$2 x y + 2 \lambda x = 0$

$x^2 + 2 \lambda y = 0$

x^2 + y^2 -1 = 0

另一个例子