这里的最大值遍取所有可能的攻击组合b=(b1,b2,…,bm)T,bi≥0, ∑bi=1。如果某个攻击组合b*使得增长率W(b,F)达到最大值，那么，这个攻击组合就称为“对数最优攻击组合”。
为了简化上角标，本文对b*和b(*)交替使用，不加区别。
定理1：设Χ1,Χ2,…,Χn是服从同一分布F(x)的独立同分布随机序列。令S*n=∏i=1n b*TΧi是在同一攻击组合b*之下n轮攻击之后黑客的收益，那么，
(logS*n)/n → W*，依概率1。
证明：由强大数定律可知：
依概率1
所以，证毕。
引理1：W(b,F)关于b是凹函数，关于F是线性的，而W*(F)关于F是凸函数。
证明：增长率公式为W(b,F)=∫log(bTx)dF(x)，由于积分关于F是线性的，因此，W(b,F)关于F是线性的。又由对数函数的凸性可知：
对该公式两边同取数学期望，便推出W(b,F)关于b是凹函数。最后，为证明W*(F)关于F是凸函数，假设F1和F2是收益列向量的两个分布，并令b*(F1)和b*(F2)分别是对应于两个分布的最优攻击组合。令b*(λF1+(1-λ)F2)为对应于λF1+(1-λ)F2的对数最优攻击组合，那么，利用W(b,F)关于F的线性特性，有：
因为b*(F1)和b*(F2)分别使得W(b,F1)和W(b,F2)达到最大值。证毕。
引理2：关于某个分布的全体对数最优攻击组合构成的集合是凸集。
证明：令b*1和b*2是两个对数最优攻击组合，即，W(b1,F)=W(b2,F)=W*(F)。由W(b,F)的凹性可以推出：
W［λb1+(1-λ)b2,F］≥λW(b1,F)+(1-λ)W(b2,F)=W*(F)
也就是说，λb1+(1-λ)b2还是一个对数最优的攻击组合。证毕。
令В={b∈Rm: bi≥0, ∑mi=1bi=1}表示所有允许的攻击组合。
定理2：设黑客欲攻击的m个系统的收益列向量X=(X1,X2,…,Xm)T服从联合分布F(x)，即X～F(x)，那么，该黑客的攻击组合b*是对数最优（即使得增长率W(b,F)达到最大值的攻击组合）的充分必要条件是：
当b*i>0时，E［Xi/(b*TX)］=1； 当b*i=0时，E［Xi/(b*TX)］≤1。
证明：由于增长率W(b)=E［log(bTX)］是b的凹函数，其中b的取舍范围为所有攻击组合形成的单纯形。于是，b*是对数最优的，当且仅当W(·)沿着从b*到任意其他攻击组合b方向上的方向导数是非正的。于是，对于0≤λ≤1，令bλ=(1-λ)b*+λb，可得：
［dW(bλ)/dλ］│λ=0+≤0，b∈В
由于W(bλ)在λ=0+处的单边导数为：
［dE(log(bTλX))/dλ］│λ=0+
=limλ→0{E［log［［(1-λ)b*TX+λbTX］/［b*TX］］］}/λ
=E{limλ→0{［log［1+λ［(bTX)/(b*TX)-1］］］/λ}}
=E［(bTX)/(b*TX)］-1
这里λ→0表示从正数方向趋向于0。于是，对所有b∈В都有：E［(bTX)/(b*TX)］-1≤0。如果从b到b*的线段可以朝着b*在单纯形В中延伸，那么W(bλ)在λ=0点具有双边导数且导数为0，于是，E［(bTX)/(b*TX)］=1；否则，E［(bTX)/(b*TX)］<1（注：此定理的更详细证明可参考文献［1］的定理16.2.1的证明过程），证毕。
由上面的定理2，可以得出如下推论：
定理3：设S*=b*TX是对应于对数最优攻击组合b*的黑客收益，令S=bTX是对应于任意攻击组合b的随机收益，那么，对所有的S有E［log(S/S*)］≤0 当且仅当对所有S有E(S/S*)≤1。
证明：对于对数最优的攻击组合b*，由定理2可知，对任意i有E［Xi/(b*TX)］≤1。对此式两边同乘以bi，并且关于i求和，可得到：
∑mi=1{biE［Xi/(b*TX)］}≤∑mi=1bi=1
这等价于E［(bTX)/(b*TX)］= E(S/S*)≤1，因为E［log(S/S*)］≤log［E(S/S*)］≤log1=0，其逆可由Jensen不等式得出，证毕。
此定理表明，对数最优攻击组合不但能够使得增长率最大化，而且，也能使得每轮攻击的收益比值E(S/S*)最大化。