参考：链接
数学上的定义1、定义在非空有限集合上的偏序集合 L，满足集合 L 中的任意元素 a，b，使得 a，b 在 L 中存在一个最大下界，和最小上界。
2、群论中的定义，是 RnRn 中的满足某种性质的子集。当然，也可以是其它群。
格的研究方向1、格中计算问题的困难性，即这些问题的计算复杂性，主要有：
SVP 问题 （最短向量问题）
CVP 问题（最近向量问题）
2、如何求解格中的困难性问题，目前既有近似算法，也有一些精确性算法。
3、基于格的密码分析，即如何利用格理论分析一些已有的密码学算法，目前有如下研究：
Knapsack cryptosystems（背包密码）
DSA nonce biases（DSA随机数偏差）
Factoring RSA keys with bits known（用已知位分解RSA秘钥）
Small RSA private exponents（小型RSA私有指数）
Stereotyped messages with small RSA exponents（具有较小RSA指数的定型消息）
4、如何基于格困难问题设计新的密码体制，这也是后量子密码时代的重要研究方向之一，目前有以下研究：
Fully homomorphic encryption（全同态加密）
The Goldreich–Goldwasser–Halevi (GGH) cryptosystem（GGH密码）
The NTRU cryptosystem（NTRU密码）
The Ajtai–Dwork cryptosystem and the LWE cryptosystem（AD和LWE密码）
格的发展参考：链接
时间 标志事件18世纪–1982年 格经典数学问题的讨论，代表人物：Lagrange，Gues，Hermite，MInkowski等
1982年–1996年 期间标志性事件是LLL算法的提出（Lenstra-Lenstra-Lovasz）
1996年–2005年 第一代格密码诞生（Ajtai96, AD97G, GH9）
2005年–2016年 第二代格密码出现并逐步完善，并实用化格密码算法 （Regev05, GPV08,MP12 BLISS ,NewHope, Frodo）
2016年– 格密码逐步得以标准化
发展：
从前 现在具有悠久历史的格经典数学问题的研究 ⟹
近30多年来高维格困难问题的求解算法及其计算复杂性理论研究
使用格困难问题的求解算法分析非格公钥密码体制的安全性 ⟹ 基于格困难问题的密码体制的设计
优势：
格密码 经典密码量子攻击算法 Shor算法
矩阵乘法、多项式乘法 Shor算法
Worst-case hardness Average-case hardnes
结构灵活、功能丰富 结构简单、功能受限
格定义
简而言之，格是n个线性无关向量的所有整系数的线性组合
基础知识1、det（A）
指方阵A的行列式
2、向量范数
3、基础区域 F
一个格L的任何基础区域都有着相同的 “体积”
下面的平行四边形即为一个【基础区域F】
基础区域 F 的n维体积称为 L 的行列式，记为det L
4、Hadamard 不等式