图：牛顿迭代法的收敛
在上图的4个部分中，f(x)以粗实线表示，a和b都表示为垂直的虚线。如果f(a)满足前面给出的规定，则从a开始迭代，且切线会朝着根收敛的方向倾斜。如果f(b)满足前面给定的规定，迭代就从b开始。且切线也会朝着根收敛的方向倾斜。
牛顿迭代法的工作过程假设我们想找出方程f(x) = x3 - x2 - 3x + 1.8的根。根据函数图像（如下图），该方程会有三个根：一个在区间[-2,-1]，另一个在区间[0,-1]，第三个在区间[2,3]。一旦知道了方程的根的个数以及它们所在的区间，就根据上面的要求对每个区间做测试，以此挑出一个初始迭代值。要实现这一点，首先得知道如下信息：
f(x) = x3 - x2 - 3x + 1.8，f '(x) = 3x2 - 2x - 3，f ''(x) = 6x - 2
利用这些信息，我们发现[-1,-2]满足第一个要求，因为f(-2) = -4.2，f(-1) = 2.8，且f '(x)在该区间内没有改变符号（一直都是正的）。到这，我们知道在区间[-2,-1]内有且只有一个根。现在需要检查是否满足第二个要求，我们发现f ''(x)在区间上并没有改变过符号（一直都是负的）。因为f(-2)=-4.2也是负值，所以选择x0 = -2作为迭代的初始值。下图展示了在该区间内迭代计算根的过程，其精度达到了0.0001。只经过5次迭代就得到了这个近似值。
图：计算方程f(x) = x3 - x2 - 3x + 1.8 = 0的3个根的近似值，精确度0.0001
再来看看如何求出区间[0,1]上的根。我们能够看到第一个要求在该区间上是能够满足的，但是在该区间的f''(x)的符号并不是不变的，因此这个区间不能满足第二个要求。我们怀疑这个根更接近于1而不是0，因此我们接下来尝试使用区间[0.5,1]，这个可以解决不满足第二个要求的问题了。f(0.5) = 0.175，f(1) = -1.2，f '(x)在这个区间内都是负值，因此第一个要求可以满足。要完成第二个要求让初始值x0 = 0.5，因为f(0.5)=0.175为正值，且同f ''(x)在区间[0.5,1]上的符号相同。上图也展示了在区间[0.5,1]上迭代计算根的过程，其精度达到了0.0001。最后用了4次迭代就达到了根的近似值。计算第3个根的过程也与此类似。
方程求解的接口定义root
int root(double (*f)(double x), double (*g)(double x), double *x, int *n, double delta)
返回值：如果找到了根返回0；否则返回-1。
描述：采用牛顿迭代法，根据给定的初始值来计算方程f的根。初始值由x[0]指定。函数f的导数由参数g指定。参数n代表迭代的最大次数。参数delta表示逐次逼近的差值，用该值来决定何时应该结束迭代。函数返回后，迭代过程中计算出的近似值都保存在数组x中，此时n代表数组x中的元素个数。由调用者负责管理同x相关联的存储空间。
复杂度： O（n），这里n表示调用者希望进行的最大迭代次数。
方程求解的实现与分析求解形如f(x) = 0的方程，本质上就是要找出它的根。函数root采用牛顿迭代法以给定的初始迭代值开始逐次迭代逼近，从而找到实际根。
root函数包含单个循环，该循环采用牛顿迭代公式来连续计算根的近似值。在本节给出的实现中，f就代表需要求解的方程，g代表f的导函数。每一次迭代，我们要判断当前得到的近似值是否满足需求。如果当前得到的近似值与前一轮迭代得到的近似值之差小于delta所指定的值，则认为当前的近似值满足要求。如果经过n次迭代后还是没有找到满足要求的近似根，则从函数中返回-1以表示没有找到近似根。
root函数的时间复杂度为O(n)，这里n表示调用者希望进行迭代的最大次数。最坏情况是当没有找到所需要的近似根时，此时一共会进行n次迭代。
示例：方程求解的实现
#include <math.h> #include "nummeths.h" int root(double (*f)(double x), double (*g)(double x), double *x, int *n, double delta) { int satisfied,i; i = 0; satisfied = 0; while(!satisfied && i+1 < *n) { /*x的下一个迭代值*/ x[i+1] = x[i] - (f(x[i]) / g(x[i])); /*确定是否获得期望的近似值*/ if(fabs(x[i+1] - x[i]) < delta) satisfied = 1; /*为下一次迭代做准备*/ i++; } /*即使没有迭代，也表明一个值已经存储在x中*/ if (i==0) *n=1; else *n=i+1; /*找到实根返回0，或者达到最大迭代次数仍没有找到实根，返回-1*/ if(satisfied) return 0; else return -1; }