Python小白的数学建模课-B3. 新冠疫情 SIS模型

日期：2021-11-22 栏目：程序人生浏览：次

传染病的数学模型是数学建模中的典型问题，常见的传染病模型有 SI、SIR、SIRS、SEIR 模型。

SIS 模型型将人群分为 S 类和 I 类，考虑患病者可以治愈而变成易感者，但不考虑免疫期。

本文详细给出了 SIS 模型的建模、例程、运行结果和模型分析，让小白都能懂。

『Python小白的数学建模课 @ Youcans』带你从数模小白成为国赛达人。

1. 疫情传播 SIS 模型

传染病动力学是对传染病进行定量研究的重要方法。它依据种群繁衍迁移的特性、传染病在种群内产生及传播的机制、医疗与防控条件等外部因素，建立可以描述传染病动力学行为的数学模型，通过对模型进行定性、定量分析和数值计算，模拟传染病的传播过程，预测传染病的发展趋势，研究防控策略的作用。

1.1 SI 模型

SI 模型把人群分为易感者（S类）和患病者（I类）两类，易感者（S类）与患病者（I类）有效接触即被感染，变为患病者，无潜伏期、无治愈情况、无免疫力。

SI 模型适用于只有易感者和患病者两类人群，且无法治愈的疾病。

按照 SI 模型，最终所有人都会被传染而变成病人，这是因为模型中没有考虑病人可以治愈。因此只能是健康人患病，而患病者不能恢复健康（甚至也不会死亡，而是不断传播疫情），所以终将全部被传染。

1.2 SIS 模型

SIS 模型将人群分为 S 类和 I 类，考虑患病者（I 类）可以治愈而变成易感者（S 类），但不考虑免疫期，因此患病者（I 类）治愈变成易感者以后还可以被感染而变成患病者。

SIS 模型适用于只有易感者和患病者两类人群，可以治愈，但会反复发作的疾病，例如脑炎、细菌性痢疾等治愈后也不具有免疫力的传染病。

Python小白的数学建模课-B3. 新冠疫情 SIS模型

SIS 模型假设：

考察地区的总人数 N 不变，即不考虑生死或人口流动；

人群分为易感者（S类）和患病者（I类）两类；

易感者（S类）与患病者（I类）有效接触即被感染，变为患病者；患病者（I类）可被治愈而变为易感者，无潜伏期、无免疫力；

每个患病者每天有效接触的易感者的平均人数（日接触数）是 \(\lambda\)，称为日接触率；

每天被治愈的患病者人数占患病者总数的比例为 \(\mu\) ，即日治愈率；

将第 t 天时 S类、I 类人群的占比记为 \(s(t)\)、\(i(t)\)，数量为 \(S(t)\)、\(I(t)\)；初始日期 \(t=0\) 时， S类、I 类人群占比的初值为 \(s_0\)、\(i_0\)。

需要说明的是，不考虑生死或人口流动，通常是由于考虑一个封闭环境而且假定疫情随时间的变化比生死、迁移随时间的变化显著得多, 因此后者可以忽略不计。

SIS 模型的微分方程：

由

\[\begin{align*} N\frac{di}{dt} = N \lambda s i - N \mu i \end{align*} \]